离散数学4.6-4.7函数

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1、§4.6函数的定义和性质高等数学课程中详细研究了函数的概念和性质，但这些函数概念一般不好直接应用地计算机科学。如数据结构，开关理论，自动机等。计算机科学要求推广以往的函数概念。函数：设F为二元关系，如dom(F)={x1,x2,x3}F1={,,}是函数F2={,,,}不是函数F3={,}不是函数若对任意的xdomF都存在唯一的yranF，使得xFy成立，则F为函数，y是F在x的函数值。

2、从A到B的函数：设A、B是集合，如果函数f满足以下条件(1)domf=A(2)ranfB则称f是从A到B的函数，记作：f：ABA中不可剩B中可剩没有一对多可以多对一例4.6.1：设A={a,b}，B={1,2,3},求所以A到B的函数f1={,}f2={,}f3={,}f4={,}f5={,}f6={,}f7={,}f8={,}f9={,

3、3>}若

4、A

5、=m,

6、B

7、=n，则从A到B的函数有nm个函数的元素有m个例：A={1,2,3,4},B={a,b,c},F为从A到B的函数，则

8、F

9、=4,F有34种可能。B上A：把所有从A到B的函数构成的集合称为“B上A”，记作BA。若

10、A

11、=n,

12、B

13、=m,则：

14、BA

15、=mn。像,原像,像集：若F为A到B的函数，∈F,则：y是x的像,x是y的原像；若集合Cdom(F),则C的像集为{y

16、x,x∈C,∈F}。例如：F={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,c>}1是a的原像b是2的像{

17、1,2}的像集是{a,b}{1,2,3}的像集是{a,b,c}设函数f：AB若ranf=B，则说f具有满射性；(B不可剩）(2)若对于任何x1,x2A，x1x2都有f(x1)f(x2)，则说f具有单射性；(没有多对一)(3)若f既具有满射性，又具有单射性，则说f具有双射性。(一一对应)函数的性质（

18、A

19、≥

20、B

21、）(

22、A

23、≤

24、B

25、)(

26、A

27、=

28、B

29、)不同类型的对应关系的示例abc1234abc1234abc1234dabc1234dabc123d单射不是函数双射函数满射计算：若

30、A

31、=n,

32、B

33、=m（1）若m

34、=n,则从A到B的双射有m!个；（2）若n≤m,则从A到B的单射有个。例4.6.2判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么?(1)f：R→R,f(x)=x2+2x1(2)f：Z+→R,f(x)=lnx,Z+为正整数集(3)f：R→Z,f(x)=x(4)f：R→R,f(x)=2x+1(5)f：R+→R+,f(x)=(x2+1)/x,其中R+为正实数集.(6)f：R→R,f(x)=1/x练习：解:(1)f：R→R,f(x)=x2+2x1在x=1取得极大值0.既不单射也不满射.(2)f：Z+→R,

35、f(x)=lnx单调上升,是单射.但不满射,ranf={ln1,ln2,…}.(3)f：R→Z,f(x)=x满射,但不单射,例如f(1.5)=f(1.2)=1.(4)f：R→R,f(x)=2x+1双射,因为它是单调的并且ranf=R.(5)f：R+→R+,f(x)=(x2+1)/x有极小值f(1)=2.该函数既不单射也不满射.(6)f:R→R,f(x)=1/x不是函数，x0课后例题：4.34；课后习题：4.7，4.8，4.17常用的函数(1)常函数：设f:A→B,若cB,xA,都有:f(x)=c(

36、2)恒等函数：xA,都有:f(x)=x(3)单调函数：设和为偏序集,f:A→Bx1,x2A,若x1f(x2),则称f为严格单调递减的特征函数：设A为集合，XA'(a)=1aA'0aAA'如A={a,b,c}，A'={a}，则

37、XA'(a)=1，XA'(b)=XA'(c)=0对于任意的A'A，A'的特征函数XA'：A{0，1}定义为：自然映射：设R是A上的等价关系，如：A={1,2,3,…,9}，R={

38、x≡y(mod3)}则有g(1)=g(4)=g(7)={1,4,7};g(2)=g(5)=g(8)={2,5,8};g(3)=g(6)=g(9)={3,6,9}.称g