离散数学CH08函数

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1、本章说明本章的主要内容函数的定义函数的性质函数的逆函数的合成本章与后续各章的关系是代数系统的基础8.1函数的定义与性质8.2函数的复合与反函数8.3一个电话系统的描述实例本章小结习题作业本章内容8.1函数的定义与性质定义8.1设F为二元关系，若x∈domF，都存在唯一的y∈ranF使xFy成立，则称F为函数(function)(或称作映射(mapping))。对于函数F，如果有xFy，则记作y＝F(x)，并称y为F在x的值。举例判断下列关系是否为函数F1＝{,,}F2＝{

2、1,y1>,}是函数不是函数说明函数是特殊的二元关系。函数的定义域为domF，而不是它的真子集。一个x只能对应唯一的y。定义8.2设F,G为函数，则F＝GFG∧GF由定义可知，两个函数F和G相等,一定满足下面两个条件：（1）domF＝domG（2）x∈domF＝domG，都有F(x)＝G(x)例如函数F(x)＝(x21)/(x+1)，G(x)＝x1不相等,因为domF＝{x

3、x∈R∧x≠-1}domG＝R显然，domF≠domG，所以两个函数不相等。函数相等定义8.3设A,B为集合，如果f为函数

4、，domf＝A，ranfB，则称f为从A到B的函数，记作f：A→B。例如：f：N→N，f(x)＝2x是从N到N的函数，g：N→N，g(x)＝2也是从N到N的函数。定义8.4所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上A”，符号化表示为BA＝{f

5、f：A→B}。从A到B的函数例8.2设A＝{1,2,3}，B＝{a,b}，求BA。解答BA＝{f0,f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7}。其中f0＝{<1,a>,<2,a>,<3,a>}f1＝{<1,a>,<2,a>,<3,b>}f2＝{<1,a>,<2,b>,<3,a>

6、}f3＝{<1,a>,<2,b>,<3,b>}f4＝{<1,b>,<2,a>,<3,a>}f5＝{<1,b>,<2,a>,<3,b>}f6＝{<1,b>,<2,b>,<3,a>}f7＝{<1,b>,<2,b>,<3,b>}例8.2说明若

7、A

8、＝m，

9、B

10、＝n，且m,n>0，则

11、BA

12、＝nm。当A或B至少有一个集合是空集时：A＝且B＝，则BA＝＝{}。A＝且B≠，则BA＝B＝{}。A≠且B＝，则BA＝A＝。定义8.5设函数f：A→B，A1A，B1B。（1）令f(A1)＝{f(x)

13、x∈A

14、1}，称f(A1)为A1在f下的像(image)。特别地，当A1＝A时，称f(A)为函数的像。（2）令f1(B1)＝{x

15、x∈A∧f(x)∈B1}，称f1(B1)为B1在f下的完全原像(preimage)。说明函数的像和完全原像注意区别函数的值和像两个不同的概念。函数值f(x)∈B，而函数的像f(A1)B。讨论设B1B，显然B1在f下的原像f-1(B1)是A的子集。设A1A，那么f(A1)B。f(A1)的完全原像就是f-1(f(A1))。一般来说，f-1(f(A1))≠A1，但是A1f-1(f(A1))。例

16、如函数f:{1,2,3}→{0,1}，满足f(1)＝f(2)＝0，f(3)＝1令A1＝{1}，那么f-1(f(A1))＝f-1(f({1}))＝f-1({0})＝{1,2}这时，A1是f-1(f(A1))的真子集。例8.3设f:N→N，且令A＝{0,1}，B＝{2}，求f(A)和f1(B)。解答f(A)＝f({0,1})＝{f(0),f(1)}＝{0,2}f1(B)＝f1({2})＝{1,4}(因为f(1)＝2,f(4)＝2)例8.3定义8.6设f:A→B，（1）若ranf＝B，则称f:A→B是满射(surject

17、ion)的。（2）若y∈ranf都存在唯一的x∈A使得f(x)＝y，则称f:A→B是单射(injection)的。（3）若f既是满射又是单射的，则称f:A→B是双射(bijection)的(一一映像(one-to-onemapping))。说明满射、入射、双射如果f:A→B是满射的，则对于任意的y∈B，都存在x∈A，使得f(x)＝y。如果f:A→B是单射的，则对于x1、x2A且x1≠x2，一定有f(x1)≠f(x2)。换句话说，如果对于x1、x2A有f(x1)＝f(x2)，则一定有x1＝x2。不同类型的对应关系的示

18、例abc1234abc1234abc1234dabc1234dabc123d单射不是函数双射函数满射例8.4判断下面函数是否为单射、满射、双射的，为什么?(1)f：R→R，f(x)=-x2+2x-1(2)f：Z+→R，f(x)=lnx，Z+为正整数集(3)f：R→Z，f(x)=x(4)f：R→R，f(x)=2x+