离散数学 函数

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1、5-1函数的基本概念一.概念定义：X与Y集合，f是从X到Y的关系，如果任何x∈X，都存在唯一y∈Y，使得∈f,则称f是从X到Y的函数，(变换、映射)，记作f:XY,或XY.如果f:XX是函数,也称f是X上的函数.下面给出A={1,2,3}上几个关系，哪些是A到A的函数？1。2。。1。2。。1。2。。1。2。。3333R2R1R3R4下面哪些是R到R的函数？f={

2、x,y∈R∧y=}g={

3、x,y∈R∧x2+y2=4}h={

4、x,y∈R∧y=x2}r={

5、x,y∈R∧y=lgx}v={

6、x,y∈R∧y=

7、}__1x√x2.定义域、值域和陪域(共域)设f:XY,f的定义域(domain)，记作domf，或Df即Df=domf={x

8、x∈X∧y(y∈Y∧f)}=Xf的值域(range)：记作ranf，或Rf即或f(X)Rf=ranf=f(X)={y

9、y∈Y∧x(x∈X∧f)}f的陪域(codomain):即是Y(称之为f的陪域)。二.函数的表示方法有枚举法、关系图、关系矩阵、谓词描述法。三.从X到Y的函数的集合YX：YX={f

10、f:XY}YX：它是由所有的从X到Y函数构成的集合例X={1,2,3}Y={a,b}求所有从X到Y函数．结论：

11、若X、Y是有限集合，且

12、X

13、=m，

14、Y

15、=n，则

16、YX

17、=

18、Y

19、

20、X

21、=nm。从X到Y的关系=

22、P(XY)

23、=2nm.规定：从∅到∅的函数只有f=∅。从∅到Y的函数只有f=∅。若X≠∅，则从X到∅的函数不存在。四.特殊函数1.常值函数：函数f:XY，如果y0∈Y,使得对x∈X,有f(x)=y0,即ranf={y0},称f是常值函数。2.恒等函数：恒等关系IX是X到X函数，即IX:XX,称之为恒等函数。显然对于x∈X，有IX(x)=x。五.两个函数相等设有两个函数f:ABg:AB,f=g当且仅当对任何x∈A，有f(x)=g(x)。六.函数的类型例子：

24、X1Y。。。。。123ab。csXY。。。。。123ab4。。cgX1Y1。。。。。123abd。。chXY。。。。。123ab4。。cfRf=YRs=YRgYRhY1一对一一对一函数的类型1.满射的：f:XY是函数，如果ranf=Y,则称f是满射的。2.入射的：f:XY是函数，如果对于任何x1,x2∈X,如果x1≠x2有f(x1)≠f(x2),(或者若f(x1)=f(x2),则x1=x2),则称f是入射的，也称f是单射的，也称f是一对一的。3.双射的：f:XY是函数，如果f既是满射的，又是入射的，则称f是双射的，也称f是一一对应的。特别地：：Y是

25、单射；：是双射。思考题：如果f:XX是入射的函数，则必是满射的，所以f也是双射的。此命题在什么条件下成立吗？5-2函数的复合关系的复合：设R是从X到Y的关系，S是从Y到Z的关系，则R和S的复合关系记作RS。定义为：RS={

26、xXzZy(yYRS)}函数的复合定义：设f:XY,g:WZ是函数,若f(X)W,则gf={

27、xXzZy(yYfg)}称为g在f的左边可复合。定理：两个函数的复合是一个函数。证明：设f:XY,g:WZ是函数,且f(X)

28、W。（1）对任意的xX，因为f是函数，故存在唯一的序偶，使得y=f(x)成立,而f(x)f(X)W,又因为g是函数，故存在唯一的序偶，使得z=g(y)成立，根据复合定义，g∘f,即domg∘f=X.（2）假设g∘f且g∘f，由复合定义存在y1Yy2Y，使得fgfg,由于f、g为函数，所以有，y1=y2，因而z1=z2。由（1）、（2）得g∘f是X到Z的函数。函数的复合一.定义:f:XY,g:YZ是函数,则定义gf={

29、z>

30、xXzZy(yYfg)}则称gf为f与g的复合函数(左复合).结论:gf(x)=g(f(x))二.复合函数的计算计算方法同复合关系的计算.例f:XY,g:YZX={1,2,3}Y={1,2,3,4,}Z={1,2,3,4,5,}f={<1,2>,<2,4>,<3,1>}g={<1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1>}则gf＝用关系图复合:三.函数复合的性质定理1（满足可结合性）。f:XY,g:YZ,h:ZW是函数,则(hg)f=h(gf)。3。2。1。3。2。1。4XYZ。3。2。1。

31、4。5。3