《指数与指数函数》

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1、指数与指数函数(1)根式的概念无0的负无理数次幂无意义理0的正无理数次幂为0数指数幂am·an＝_a_m_＋_n___(a>0，m，n∈R)运(am)n＝amn(a>0，m，n∈R)算(ab)n＝___a_n_bn__(a>0，b>0，n∈R)性质1．对于分数指数幂的理解应注意以下问题(1)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化．(3)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的．指数幂的化简与求值的原则

2、及结果要求(1)化简原则①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．(2)结果要求①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂．解析：解析：训练1化简3．指数函数的图象和性质通过对近三年高考试题的统计分析，可以看出以下的命题规律：1．考查热点：指数函数的图象和性质，尤其对于底数的分类讨论是高考考查的热点．2．考查形式：多以选择题和填空题的形式出现，但有时在解答题中也会出现，整个命题过程源于教材，又高于教材，是教材中问题的延伸、变形与组

3、合．3．考查角度：一是对指数函数基本概念的考查，如指数幂的运算，应用函数单调性比较大小，解指数不等式等．二是对与指数函数有关的综合问题的考查，其角度是以指数函数为载体，以指数函数某个性质为核心，结合其他知识，把问题延伸，以知识的综合运用和能力发展为目的．4．命题趋势：指数函数与其他函数的小综合，比较大小、图象性质、求最值等问题．2．指数函数对指数函数定义的理解(1)指数函数y＝ax的底数a需满足a＞0，且a≠1.(2)指数函数的外形只能是y＝ax，像y＝kax(k≠0，k≠1)、y＝ax＋b(b≠0)等都不是指数函数，虽然它们可以由y＝ax的图象通过适当变换得到．解析：答案：C2.右

4、图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是()A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c答案：B单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图像的无限伸展性，x轴是函数图像的渐近线．当0＜a＜1，x→＋∞时，y→0；当a＞1，x→－∞时，y→0；当a＞1时，a的值越大，图像越靠近y轴，递增的速度越快；当0＜a＜1时，a的值越小，图像越靠近y轴，递减的速度越快．解析：设f(x)＝ax，则g(x)＝ax－1，由g(x)图象过(2,2)点可知，a2－1＝2，∴a＝2.∴f(x)＝

5、2x.答案：A解析：答案：A答案：－1解析：答案：(0，＋∞)答案：x＝－4答案：m>n1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．若曲线y＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析：作出曲线和直线的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线y＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得y＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈(－∞，1]．答案：(－∞，1]解析：1．与指数函数有关的复合函数的定义

6、域、值域的求法(1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同；(2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y＝af(x)的值域．2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；(3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．解析：(1)函数定义域为R，关于原点对称．解析：(2010·陕西卷)下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数答案：C解析：

7、答案：A解析：答案：A【名师点评】(1)本题易错的是：①忽视函数的定义域；②所给函数比较复杂，不能将函数式进行合适的化简变形；③函数的单调性判断错误．解析：答案：m＜n1．若x＜0且ax＞bx＞1，则下列不等式成立的是()A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜aD．1＜a＜b解析：选B.由指数函数的图像特征可知，底数a，b均大于0且小于1，再通过特殊值检验可知选B.3．方程9x－6·3x－7＝0的解是________．解析：令t＝3x，则原方程可