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1、第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数、极限与连续第一章1.1.2函数及其图形1.1.1实数与实数集合§1.1函数1.1.3反函数、复合函数与初等函数1.1.1实数与实数集合一.几类常用数集元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作定义具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.(或).注:M为数集表示M中排除0的集合;表示M中排除0与负数的集合.表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：x所具有的特征整数集合例：有理数集p与q互质
2、实数集合x为有理数或无理数开区间闭区间是B的子集,或称B包含A,集合之间的关系及运算定义2.则称A若且则称A与B相等,例如,显然有下列关系:,,若设有集合记作记作必有机动目录上页下页返回结束.定义3.给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集机动目录上页下页返回结束或无限区间点a的邻域其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心邻域左邻域:右邻域:二.区间与邻域1.1.2、函数及其图象一.函数的概念定义域定义1.1.1.设非空数集按照一定法则f变量y有确定的值和它对应,则称y是x的函数,记为f(D)称为值域自变量因变量(对应规则
3、)(值域)(定义域)定义域对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.例如,绝对值函数定义域值域例1.1.1.求函数解:的定义域.要使该函数有意义，必须即故该函数的定义域为二函数的图象例1.1.2符号函数当x>0当x=0当x<0该函数的定义域为值域为例1.1.3取整函数：取不超过x的最大整数，x为任意实数。当该函数的定义域为值域为分段函数函数在其定义域的不同范围内，具有不同的解析表达式例1.1.4.已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域三.函数的几种特性设函数且有区间1有界性有称(说明:还可定义有上界
4、、有下界、无界)是在I上的有界函数.有称是在I上的有上界.有称是在I上的有下界.用函数图象表示为OxyMMI无界函数图象举例函数在区间内无界。函数在区间内无界。2单调性时,称为I上的称为I上的单调增函数;单调减函数.例1.1.5证明内的单调性。试证函数在区间且则所以故该函数在指定区间内是单调增加的。3奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.例如,偶函数双曲余弦记又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记例1.1.6判断该函数是奇函数还是偶函数.证明则所以,该函数是非奇非偶函数.（P16，习题7的结论）4周期性且则称为周期函数,若称l为周
5、期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数四几类简单函数及其图形（图形见教材P9-11）机动目录上页下页返回结束.1.1.3.反函数与复合函数一反函数定义1.1.2设函数的定义域为D,如果对任何时，而在区间例函数当则称函数在D上是一对一的。在区间上不是一对一的，上是一对一的。有定义1.1.3设函数在其定义域D上是一对一的,其值域为如果把y作为自变量，且满足关系式则由上述关系所确定的函数x作为函数，则对于任意在上可以唯一确定x与y对应，称为D上的反函数.在习惯上记作称为y=f(x)的反函数.则由上述关系式可确定一个
6、新函数函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数1.反正弦函数正弦函数的图象对于一个y，对应无穷多个x，即正弦函数不是一对一的.为了得到正弦函数的反函数，我们限定则正弦函数是单调的，一定是一对一的.正弦函数在的反函数记为它的定义域为值域为又称为反正弦函数的主值范围。则余弦函数在的反函数记为它的定义域为值域为又称为2.反余弦函数与正弦函数相同的原因，同理定义反余弦函数的主值范围。反余弦正切函数在的反函数记为它的定义域为值域为又称3.反正切函数为反正切的主值范围。例1.1.7计算下列各式二复合函数则
7、设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合三.初等函数(1)基本初等函数幂函数：指数函数：对数函数：三角函数：反三角函数：(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.例如：都为初等函数.内容小结1.集合的概念、关系及运算定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构2.函数的定义及函数的二要素作业P181(3);3(1);5；6（3）;10
