高等数学 教学课件 作者 胡耀胜第一章1.1 函数.ppt

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1、第一节　函　数一、函数的概念二、分段函数三、反函数六、建立函数关系举例第一章　函数的极限与连续四、函数的几种特性五、初等函数一、函数的概念定义设D为一个非空实数集合，若存在确定的对应规则f，使得对于数集D中的任意一个数x,按照f都有唯一确定的实数y与之对应，则称f是定义在集合D上的函数.D:f的定义域x:自变量y:因变量如果对于自变量x的某个确定的值x0，因变量y能够得到一个确定的值，那么就称函数f在x0处有定义，其因变量的值或函数f的函数值记为实数集合称为函数f的值域.(其中为大于0的常数)的一切x，称为点x0的d邻域，记作U(x0,d).满足不等式它的几何意义是：以x0

2、为中心，d为半径的开区间(x0-d,x0+d)，即x0-d

3、解设物品重量为xkg，应交运费为y元.由题意可知这时应考虑三种情况：情况二：重量大于20kg，但不超过50kg，这时情况三：重量超过50kg，这时情况一：重量不超过20kg，这时因此，所求的函数是一个分段函数例5函数≤≤三、反函数设y=f(x)为定义在D上的函数，其值域为A.若对于数集A中的每个数y,数集D中都有唯一的一个数x使f(x)=y，这就是说变量x是变量y的函数.这个函数称为函数y=f(x)的反函数,其定义域为A.值域为D.函数y=f(x)与x=f-1(y)二者的图形是相同的.记为x=f-1(y).交换x、y的位置,即得所求的反函数解例6四、函数的几种特性设函数y=f

4、(x)的定义域关于原点对称，如果对于定义域中的任何x，都有f(x)=f(-x)，则称y=f(x)为偶函数；如果有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数.不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数.1.奇偶性例7判断下列函数的奇偶性2.周期性设函数y=f(x)的定义域为(-,+)，若存在正数T，使得对于一切实数x，都有：则称y=f(x)为周期函数,T称为其周期,一般提到的周期均是指最小正周期.f(x+T)=f(x).设x1和x2为区间(a,b)内的任意两个数，若当x1

5、称该函数在区间(a,b)内单调减少，或称递减；3.单调性y=cotx在(0,p)内递减.函数的递增、递减统称函数是单调的.从几何直观来看，递增，就是当x自左向右变化时，函数的图形上升；递减，就是当x自左向右变化时，函数的图形下降.aabbxyOxyOy=f(x)y=f(x)设函数f(x)在区间I上有定义，若存在一个正数M，当xI时，恒有成立，则称函数f(x)为在I上的有界函数，≤4.有界性如果不存在这样的正数M，则称函数f(x)为在I上的无界函数.例如，因为当x(,)时,恒有

6、sinx

7、≤1,所以函数f(x)=sinx在(,)内是有界函数.1.基本初等函数

8、三角函数反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx；五、初等函数等五类函数统称为基本初等函数.y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx；幂函数指数函数对数函数2.复合函数若函数y=F(u)的定义域与函数u=j(x)的值域的交集非空,则y通过变量u成为x的函数,这个函数称为由函数y=F(u)和函数u=j(x)构成的复合函数,其中变量u称为中间变量.记为解1例8求f[j(x)]时,应将f(x)中的x视为j(x),因此因此)].([)],([xfxfjj求例９　求下列函数的复合结构解例1０解方

9、法一令u=x1,得f(u)=(u1)2,再将u=2x1代入,即得复合函数方法二因为f(x1)=x2=[(x1)+1]2,于是问题转化为求y=f(x)=(x1)2与j(x)=2x1的复合函数f[j(x)],因此3.初等函数由基本初等函数及常数经过有限次四则运算和有限次复合构成,并且可以用一个数学式子表示的函数,叫做初等函数.例如等等,都是初等函数.六、建立函数关系举例解设剪去的小正方形的边长为x,则盒子的底面积为(a-2x)2，高为x，因此所求的函数关系为例11设有一块边长为a的正方形薄板，