高等数学 教学课件 作者 胡耀胜第一章1.4 无穷小量的比较.ppt

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1、第一章　函数的极限与连续第四节　无穷小量与无穷大量一、无穷小量及其运算三、无穷大量二、无穷小量的比较一、无穷小量及其运算若函数a=a(x)在x的某种趋向下以零为极限，则称函数a=a(x)为x的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小.例如，函数a(x)=x-x0，当x→x0时，a(x)→0，所以a(x)=x-x0是当x→x0时的无穷小量.它是当x→∞时的无穷小量.是当x→+∞时的无穷小量.定理1若函数y=f(x)在x→x0(或x→∞)时的极限为A，则f(x)=Aa(x)(简记y=Aa)，定理2有限个无穷小(当x→x0或x→∞时)的代数和仍然是无穷小量.反之若则A为

2、f(x)的极限，推论1有限个无穷小量推论2常数与无穷小量之积为无穷小量.(自变量同一趋向下)之积为无穷小量.定理3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.例1为有界函数，证0二、无穷小量的比较定义设(x)和b(x)为(x→x0或x→)两个无穷小量.若它们的比有非零极限，若c=1，则称(x)和b(x)为等价无穷小量，则称(x)和b(x)为同阶无穷小.并记为(x)~b(x)，(x→x0或x→).即例如，在x→0时sinx和5x都是无穷小量，且所以当x→0时，sinx和5x是同阶无穷小量.又如，因为在x→0时，x，sinx，tanx，1-cosx，ln(1+x

3、)等都是无穷小量.所以，当x→0时，x与sinx，x与tanx，都是等价无穷小量，x~sinx，x~tanx，ln(1+x)~x.即x与ln(1+x)并且定义设(x)和b(x)为x→x0(或x→)时的无穷小量，则称当x→x0(或x→)时，(x)是b(x)的高阶无穷小量，例如，x2,sinx都是x→0时的无穷小量,且所以，当x→0时，x2是sinx的高阶无穷小量，即x2=o(sinx).或称b(x)是(x)的低阶无穷小量，记为(x)=o(b(x)).若它们的比的极限为零，即定理设(x)~1(x)，b(x)~b1(x)，且存在(或无穷大量)，则也存在

4、或(无穷大量)，并且证由定理条件可知因此有即可仿上面的证法.例2解因为x→0时，ln(1+x)~x，ex-1~x，所以例3解因为x→0时，tan5x~5x，所以例4解若直接用x代替tanx及sinx，因为，虽然tanxx，sinxx，但tanx-sinx0则不成立，因此，这里用0代替tanx–sinx是错误的.是错误的.则三、无穷大量若函数y=f(x)的绝对值

5、f(x)

6、在x的某种趋向下无限增大，则称y=f(x)为在x的这种趋向下的无穷大量，简称为无穷大.当x→x0时，f(x)为无穷大量，记作当x→时，f(x)为无穷大量，记作若在x的某种趋向下，f(x)

7、恒正地无限变大，或者恒负，但绝对值无限变大，则记为有时，所研究的无穷大量具有确定的符号，定理反之，若则设若则