高等数学 教学课件 作者 胡耀胜第二章2.2求导法则.ppt

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1、一、导数的四则运算二、复合函数的微分法第二章　导数与微分三、反函数的求导法则1.基本初等函数的导数公式初等函数的求导公式定理1设函数u(x)、v(x)在x处可导，在x处也可导，(u(x)v(x))=u(x)v(x);(u(x)v(x))=u(x)v(x)+u(x)v(x);一、导数的四则运算且则它们的和、差、积与商证上述三个公式的证明思路都类似，我们只证第二个．因为u(x+x)-u(x)=u，即u(x+x)=u(x)+u，同理有v(x+x)=v(x)+v.y=u(x)v(x)，令则y=u(x+x)v(x+x)-u(

2、x)v(x)=[u(x)+u]·[v(x)+v]-u(x)v(x)=u(x)v+v(x)u+uv.所以推论1(cu(x))=cu(x)(c为常数).推论2解根据推论1可得(3x4)=3(x4)，(5cosx)=5(cosx)，(cosx)=-sinx，(ex)=ex，(1)=0，故f(x)=(3x4-ex+5cosx-1)=(3x4)-(ex)+(5cosx)-(1)=12x3-ex-5sinx.f(0)=(12x3-ex-5sinx)

3、x=0=-1又(x4)=4x3，例1设f(x)=3x4–ex+5c

4、osx-1，求f(x)及f(0).例2设y=xlnx，求y.解根据乘法公式，有y=(xlnx)=x(lnx)+(x)lnx解根据除法公式，有例3设求y.例4设f(x)=tanx，求f(x).即同理可得(tanx)=sec2x.(cotx)=-csc2x.解例5设y=secx，求y.解根据推论2，有即同理可得(secx)=secxtanx.(cscx)=-cscxcotx.另外可求得(以后补证)解求的导数求例６二、复合函数的微分法定理2设函数y=f(u)，u=(x)均可导，则复合函数y=f((x))也可导.且或或即证设

5、变量x有增量x，由于u可导，相应地变量u有增量u，从而y有增量y.推论设y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可导，则复合函数y=f[((x))]也可导，且或求的导数解函数可以看作由函数与复合而成．因此例７例８设y=(2x+1)5，求y.解把2x+1看成中间变量u，y=u5，u=2x+1复合而成，所以将y=(2x+1)5看成是由于例９设y=sin2x，求y.解这个函数可以看成是y=sinx·sinx,可利用乘法的导数公式，将y=sin2x看成是由y=u2，u=sinx复合而成.而所以这里，我们用复合函数求导法.解y=etanx可以

6、看成是由y=eu，u=tanx复合而成，所以例10设y=etanx，求y.复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出.求y.解将中间变量u=1-x2记在脑子中.这样可以直接写出下式例11例12设f(x)=arcsin(x2)，求f(x).解例13求y.解这个复合函数有三个复合步骤把这些中间变量都记在脑子中．例14求y.解例15求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).；；；解；；221343)6(21xxxuuyyxux--=-.=¢.¢=¢-解设　　　，　　　，　　得例16例17求函数的导数．解解先用除法

7、的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.例18,求y.例19设y=sin(xlnx)，求y.解先用复合函数求导公式，再用乘法公式y=cos(xlnx)·(xlnx)=cos(xlnx)·(x·(lnx)+xlnx)=(1+lnx)cos(xlnx).例20解先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，然后又会遇到复合函数的求导.例21求下列函数的导数：(1)；(2)．解(1)；(2)．例22求下列函数的导数：(2)．(1)；；解(1)．(2)例23求函数的导数．解在求函数的导数时，为计算简便起见，有时还需要先把函数变形为易于求导的形式

8、，然后再进行求导.例24求下列函数的导数：.解(1)因为所以(2)因为所以例25求函数　　　　　　的导数．，则．解由对数性质，有补证一下(x)=x-1.所以(x)=(elnx)=elnx·(lnx)三、反函数的求导法则