高等数学教案(极限部分)1数列极限

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1、应用数理学院应用数学学科部高等数学（第二版）第1章极限与连续函数极限的概念函数极限的性质与计算函数的连续性极限存在准则与两个重要极限数列极限2数列的概念数列极限的概念数列极限的性质§1.1数列极限3无限！再没有其它的问题——希尔伯特如此深刻地打动过人类的心灵.极限概念是从常量到变量,从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长.4“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”例割圆术——刘徽一、两个实例(三世纪)5正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积以极限的记

2、法即6截丈问题例“一尺之棰，日截其半，万世不竭”第n天截下的杖长总和为庄子(约公元前355~275年)7定义按照自然数的顺序排列的一列数简记为通项,或者一般项.二、数列的概念称为数列.如或8（1）数列也可看作自变量为正整数n的函数，整标函数或下标函数。说明9(2)在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注不可将这串点连成曲线.onxn····1234则数列的几何意义是平面上一串分离的点.10三、数列极限的定义请观察以下数列11数列极限的直观定义例如12可以看出，当n无限增大时，无限接近101x“1”是它的极限

3、.无限增大无限接近越来越大,即13如只要项号n满足要使只要项号n满足就有而要使14故只要项号n满足一般地，当取任意小的正数，都能说明可以找到这样的项号N,只要位于N项以后的一切项即事实上就用量化方式说清了无限接近a.都满足,15定义(数列极限的数量化定义)恒有设为一数列，若存在定数a,则称a为数列的极限，或称数列收敛于a,并记为或记为16若不存在这样的定数a,则说数列没或说数列发散，也说不存在.有极限,定义中关键字的意义:刻画与a可以无限接近的程度,(1)正数—“任意给定”，“可以任意小”；被满足的时刻，

4、指明对给定的正数，(2)正整数N=N()—“N不唯一”、“N依而定”、“N可大不可小”.17(3)绝对值不等式—则表明与a可以无限接近.即当n>N以后，所有的点都将落在内，而此区间外至多只有有限个点即的几何意义:(4)18例分析对于要使设证明:即要使于是只要取有以上的推导全便成立,(先设q不为零)19证恒有若q=0,结论成立;(无妨取0<<1),使得根据定义一般情况:20例设证求证:对于于是（分析）21定理1(极限的唯一性)如果数列收敛，那么它的极限唯一.证反证法.若同时有且a

5、当时，使得四、数列极限的性质22故收敛数列极限唯一.于是,两式应同时成立，但这是不可能的!23定理2(收敛数列的有界性)若数列收敛,则数列一定有界.证对于恒有于是设令24则它必发散.从定理2可知若无界,定理条件充分非必要,定理3(收敛数列的保号性)有同号.设使得25证因此有因对于26[用保号性定理易证此定理,略]定理4(收敛数列的保序性)使当n>N，27数列的子列——关于子列的脚标有三点规定:(2)子列的序号不是,而是k,表示在子列是第k项,是原序列的第项;(1)子列序号形成的数列是严格单调上升的

6、，28定理5(收敛数列与其子序列间的关系)*若则证由于是有29定理中的结论仍成立.由定理5可以得出原数列不收敛,但可以有收敛的子列，如于不同的极限,则肯定原数列发散.若有一个子列发散,或有两个子列收敛30