高等数学数列极限

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（1）第三讲数列的极限授课教师：易学军欢迎观看第二章极限本章学习要求：了解数列极限、函数极限概念，知道运用“ε－δ”和“ε－X”语言描述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。第二章极限第一节数列的极限一、数列及其简单性质二、数

2、列的极限三、数列极限的性质四、数列的收敛准则称为一个数列,记为{xn}.1.定义数列中的每一个数称为数列的一项xn=f(n)称为数列的通项或一般项一、数列及其简单性质数列也称为序列2.数列的表示法公式法图示法表格法运用数轴表示运用直角坐标系表示介绍几个数列xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……例1…xnx2x1x0x3…••••••••••01–1x所有的奇数项所有的偶数项x1M3x1xx4x2••••••••••0所有奇数项1xnx3x2x1x0………••••••••••…3.数列的性质单调性有界性(1)数列的单调性单调增加不减少的数列单调减少

3、的情形怎么定义？单调减少不增加的严格单调增加(单调增加)严格单调减少(单调减少)单调增加(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列(2)数列的有界性回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗？数列的有界性的定义如何定义数列无界？有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？想想：

4、xn

5、

6、•••01xnx3x2x1x0………••••••••••…xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……有些数列虽然无界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的.若xnM,MR,则称{xn}有上界.若xnm,mR，则称{xn}有下界.{xn}:有界既有上界又有下界.一个数列有界(有上界,有下界),则必有无穷多个界(上界,下界).现在来讨论如何定义数列的无界：首先看有界性定义的关键所在对所有的例3证分析二、数列的极限001极限描述的是变量的变化趋势.讨论数列当无限增大时的变化趋势.容易看出:当无限增大时,x1x3x2n-1x2nx4x2x0

7、((()))*••••••••••••••••••••••••••“n无限增大”记为n.此时称数列当n时以零为极限,记为：这就是该数列的变化趋势的图上看,从数列x1x3x2n-1x2nx4x2x0((()))*••••••••••••••••••••••••••量化表示：n时,xna.预先任意给定一个正数>0,不论它的值多么小,当n无限增大时,数列{xn}总会从某一项开始,以后的所有项都落在U(0,)中.（在U(0,)外面只有有限项）010)1(e<--nn其中,是描述点xn与点0无限接近的度量标准,它是预先任意给定的

8、,与{xn}的极限存在与否无关.不存在.由N存在与否判断数列的极限是否存在.n>N描述n.通过目标不等式来寻找N>0,N=N().不等式称为目标不等式.一般地,如果数列{xn}当n时,列{xn}当n时以a为极限,记为xn可以无限地趋近某个常数a,则称数此时,也称数列是收敛的.例4001若{xn}当n时没有极限,则称{xn}发散.若时,使当记为或此时,也称数列{xn}是收敛的.极限描述的是变量的变化趋势数列的项不一定取到它的极限值.数列极限的定义：例5例6例7例8例9例101.唯一性定理若数列{xn}收敛,则其极限值必唯一.想想,如何证明它？三、数列极限

9、的性质设数列{xn}收敛,但其极限不唯一,不妨设有：证运用反证法任意性常数由的任意性,上式矛盾,故a=b.唯一性定理的推论的任何一个子数列都收敛,且均以a为极限.充分必要条件何谓子数列？子数列的概念在数列{xn}:x1,x2,,xn,中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在．例11例122.有界性定理若数列{xn}收敛,则{xn}必有界.证设则由极限定义,取时,即有则由数列有界的定义得：数列{xn}收敛,则必有界.该定理的逆