高等数学数列的极限

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1、第一章二、数列极限存在准则一、数列极限的定义第三节数列的极限三、收敛数列的性质对圆作内接正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、···这样继续循此下去,所得正多边形的面积就无限接近于圆的面积.割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.刘徽割圆术一、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S.用其内接正n边形的面积刘徽如果按照某一法则，对每个，对应着一个确定的实数，这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列就叫做数列，简记为数列.数列中的每一个数叫做数列的项，

2、第n项叫做数列的一般项或通项。1、数列定义例如注意：(1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取(2).数列是整标函数观察下列数列当n无限增大时，LL,,21®LL,0®从上面可以看出:当¥®n时,无限地接近于1,数列(2)从原点的两侧无限地接近于0,一般项的变化趋势:数列(1)从的右侧2.数列极限的定义当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于一个确定的常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛于a,记为axnn=¥®lim，当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,

3、xn-

4、a

5、无限接近于0.当n无限增大时,

6、xn-a

7、可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,

8、xn-a

9、能小于事先给定的任意小的正数.或如果数列没有极限,就说数列是发散的.习惯上也说例如,趋势不定收敛发散数列极限的演示数列极限的演示●●数列极限的演示数列极限的演示●●●●●●●●●●●●●●●●目标不惟一！！！！！！！！！！！！1.夹逼准则二、极限存在准则注意:例证明证明满足由定义知利用夹逼准则得(1)数列的有界性例如,有界；无界.数列{xn}有上界,即存在M,使xn≤M(n=1,2,…).数列{xn}有下界,即存在m,

10、使xn≥m(n=1,2,…).2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:(2)数列的单调性如数列由准则Ⅱ知及分别是单调减少且下界为1及单调增加且上界为1的数列,存在.实际上例证证明数列极限存在.证:利用二项式公式,有设例.大大正又比较可知大根据准则2可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.又内容小结(1)收敛的数列必定有界.注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.例如,有界但不收敛数列三、收敛数列的性质(2).收敛数列的极限唯一.(3).收敛数列具有保号性.若且有则推论:若数列从某项起子数列的收敛性

11、注：例如，所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{xn}中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列（或子列）.在子数列中，一般项是第k项，而在原数列中却是第项，显然，(4).收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.1.无界数列必定发散.2.一子列发散,则数列发散.3.两子列收敛到不同的极限,则数列发散.例:证发散数列判别法:注:一个发散的数列也可能有收敛的子数列.内容小结1.数列极限的定义3.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限作业P191,32.极限存在准则单调有界准则夹

12、逼准则数列极限的精确定义axnn=¥®lim，当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,

13、xn-a

14、无限接近于0.当n无限增大时,

15、xn-a

16、可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,

17、xn-a

18、能小于事先给定的任意小的正数.或问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过观察:当n无限增大时,无限接近于1.引例观察数列时的变化趋势.,1001给定,10011n,10011<-nx有只要n无限增大，xn就会与1无限靠近。引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。注：就会暂时确定

19、下来,一旦给定,以此来确定相应的N.记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.即或则称该数列的极限为a,定义:设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数(不论它多小)总存在正整数N,使得当n>N时,不等式都成立，都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.数列极限的几何意义使得N项以后的所有项注

20、：越小,表示与a接近得越好.OK!N找到了！！n>N目的：NO,有些点在条形域外面！●●●●●●●●●数列极限的演示N数列极限的演示e越来越小，N越来越大！例1用定义证明证明对于任意给定的要使只要取自然数则当时，有,所以注：就会暂时确