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《高等数学教案(极限部分)2 函数极限的概念.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、应用数理学院应用数学学科部高等数学（第二版）1时函数的极限自变量自变量时函数的极限§1.2函数极限的概念无穷小与无穷大2无限！再没有其它的问题——希尔伯特如此深刻地打动过人类的心灵.3时函数的极限一、自变量试比较函数极限与数列极限：与例看图识别下两个极限的区别和联系:45例再观察下两个极限的区别和联系稍后将证明这两个极限，其极限值为e=2.718281828459045.这两个极限的直观共性是:(或n)沿x轴正向无限变大时,就无限地接近e;函数值y当自变量x换句话说,就越来越小;与e差的绝对值数学上总希望用恰当的语言，通过量化的方式,准确地刻画因“x越变越大”即当自变量x越变越大时
2、,而“越变越小”的极限特征.使7定义1(自变量时函数的极限)若对任意给定的则称数为函数当时的极限,并记为一元实值函数,设总存在使得对于适合的一切x,都有8的定义可简洁地写为:使得只要恒有定义1几何意义:无论正数多么小,总存在这样的X,当函数图像全部落在带形区域内.90-122.201012120.6000000.40.5230.8000000.20.213.140.8823530.1176470.124.250.9230770.0769230.085100.9801980.0198020.0210500.9992000.0008000.0009501000.9998000.0002000.00
3、0310010000.9999980.0000020.0000041000的量化分析表任正数10例用定义验证:分析要使亦只要只要11于是只要取证因使得只要恒有故…12例证明:证要使对只要两边取对数只要成立即可,(因可取任意小于1的正数,保证则当恒有这便证明了因此只要取13使得只要的-X精确定义恒有的-X精确定义使得只要恒有14你会仿此给出数列极限的数量化-N精确定义吗？以下请再观察几例函数当自变量时的极限.151617这种情况下,有极限A(有穷数),分三种情况:(1)由于讨论是类似的,故以下着重讨论(1).二、自变量时函数的极限(2)右极限(3)左极限18定义2(自变量时函数的
4、极限)则称数为函数当时的极限,并记设在的某去心邻域内有定义总存在使得对于适合的一切x,都有若对任意给定的19值得关注的是:为什么定义2中如下写而不是写作或是呢?——见例图f(x)在无定义却可取到极限1/2.20f(x)在有定义也有极限值1/2.f(x)在有定义但无极限.21的定义的简洁写法:恒有定义2的几何意义的几何意义.使得只要请同学们根据图形自己叙述22例分析证使得只要就有时,越来越小如,可有:(正数),于是23这就证明了分析注意到函数在点x=1处没有定义.例证明要使只要24注意到当最终会越变越小，于是所以要使只要无妨设某时刻后有亦即只要即可.证25(注意此例中f(x)在x=1无定
5、义!)恒有问题:在用-定义的证明中,如何理解的取法有什么特点,它取法唯一吗?任意,但一旦给出又固定?即证得依而定,它与有关系吗?使得只要26仿定义2请给出以下左右极限：的-定义.观察极限与单侧极限27定理当且仅当(都存在)[证明留作思考题.]28例讨论符号函数在x=0,1点的故不存在.分析因极限.但是29另观察极限30问题:因自变量x变化而引出的函数y的变化趋势一般有多少种形式呢？31定理(海涅定理)当均有(收敛数列与其子数列的关系)对于的每个子列均有下面给出一个数列极限与函数极限之间存在关系的定理。32这个定理不作证明.容易看出其必要性条件好用,即但以下的推
6、论却好用.只写相应的推论.或由反之却不便用.推论不存在,若则不存在;33,都存在,但则不存在.推论若与例证明:不存在.证因为存在34再取故根据定理的不存在.推论35在自变量x的某变化过程中,限的变量是无穷小量,即当或y是无穷小量.三、无穷小量与无穷大量定义3(无穷小量的定义)以零为极时,则称变量简称无穷小.36的“-”数量化定义为:使得只要恒有例当时,当时,都是无穷小量;当时,均是无穷小;也都是无穷小.37定理1的充分必要条件是的一个无穷小,即其中是该极限过程中证必要性设,则记即有根据定义是当时的无穷小;38充分性因是当时的无穷小量，故设39定理(无穷小量的性质)有限个无
7、穷小量的代数和仍是无穷小量;有限个无穷小量的积仍是无穷小量；无穷小量与有界变量的积仍是无穷小量.(此定理的证明留给读者作为练习题)如40则称y(x)为在该变化过程中的无穷大量.记为的“M-”数量化定义为:使得当恒有无限变大,定义4(无穷大量的定义)在变量x的某变化过程中,41定理(无穷大量的性质)(1)无穷大量的倒数是无穷小量,反之亦然;即在某极限过程中,则反之,若且则(2)有限个无穷
