概率论课程期末论文大作业

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1、《概率论与数理统计》论文题目:正态分布及其应用学院:航天学院专业:空间科学与技术姓名:黄海京学号:1131850108正态分布及其应用摘要:正态分布(normal distribution),是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布,以及确定医学参考值范围,药品规格,用量等。可以说,正态

2、分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量。关键词:正态分布,一、正态分布的由来正态分布(normaldistribution)又名高斯分布(Gaussiandistribution)。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究,故正态分布又叫高斯分布,高斯这项工作对后世的影响极大,他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称,后世之所以多将最

3、小二乘法的发明权归之于他,也是出于这一工作。正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布,记为:则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ=0,σ=1的正态分布。二、正态分布的特性1.正太分布的曲线特征 正态曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称,曲线与横轴间的面积总等于1。  (1)集中性:

4、正态曲线的高峰位于正中央,即均数所在的位置。    (2)对称性:正态曲线以均数为中心,左右对称,曲线两端永远不与横轴相交。    (3)均匀变动性:正态曲线由均数所在处开始,分别向左右两侧逐渐均匀下降。    (4)正态分布有两个参数,即均数μ和标准差σ,可记作N(μ,σ):均数μ决定正态曲线的中心位置;标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小,曲线越陡峭;σ越大,曲线越扁平。  (5)u变换:为了便于描述和应用,常将正态变量作数据转换。 2.正态曲线下面积分布   (1)实际工作中,正态曲线下横轴上一

5、定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比,或变量值落在该区间的概率(概率分布)。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。  (2)几个重要的面积比例 轴与正态曲线之间的面积恒等于1。正态曲线下,横轴区间(μ-σ,μ+σ)内的面积为68.268949%,横轴区间(μ-1.96σ,μ+1.96σ)内的面积为95.449974%,横轴区间(μ-2.58σ,μ+2.58σ)内的面积为99.730020%。   3.正态分布函数特征 若已知的密度函数(频率曲线)为正态函数(曲线)则称已知曲线服从正态分布,记号 ~

6、 。其中μ、σ2 是两个不确定常数,是正态分布的参数,不同的μ、不同的σ2对应不同的正态分布。   (1)μ是正态分布的位置参数,描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=μ为对称轴,左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同,均等于μ。  (2)σ描述正态分布资料数据分布的离散程度,σ越大,数据分布越分散,σ越小,数据分布越集中。 也称为是正态分布的形状参数,σ越大,曲线越扁平,反之,σ越小,曲线越瘦高。  4.标准正态曲线 (1)标准正态分布是一种特殊的正态分布,标准正态分布的μ和σ2为0和1,通常用

7、ξ(或Z)表示服从标准正态分布的变量,记为 Z~N(0,1)。  (2)标准化变换:此变换有特性:若原分布服从正态分布 ,则Z=(x-μ)/σ ~ N(0,1) 就可从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。  (3) 标准正态分布表:标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X(当前值)范围内的面积比例 。  5.一般正态分布与标准正态分布的转化   由于一般的正态总体 其图像不一定关于y轴对称,对于任一正态总体 ,其取值小于x的概率 。只要会用它求

8、正态总体 在某个特定区间的概率即可。 “小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件,认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识:一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的,因为试验次数多了,该事件当然是很可能发生的;二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时,我们也有5%的犯

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1、《概率论与数理统计》论文题目:正态分布及其应用学院:航天学院专业:空间科学与技术姓名:黄海京学号:1131850108正态分布及其应用摘要:正态分布(normal distribution),是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布,以及确定医学参考值范围,药品规格,用量等。可以说,正态

2、分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量。关键词:正态分布,一、正态分布的由来正态分布(normaldistribution)又名高斯分布(Gaussiandistribution)。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究,故正态分布又叫高斯分布,高斯这项工作对后世的影响极大,他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称,后世之所以多将最

3、小二乘法的发明权归之于他,也是出于这一工作。正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布,记为:则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ=0,σ=1的正态分布。二、正态分布的特性1.正太分布的曲线特征 正态曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称,曲线与横轴间的面积总等于1。  (1)集中性:

4、正态曲线的高峰位于正中央,即均数所在的位置。    (2)对称性:正态曲线以均数为中心,左右对称,曲线两端永远不与横轴相交。    (3)均匀变动性:正态曲线由均数所在处开始,分别向左右两侧逐渐均匀下降。    (4)正态分布有两个参数,即均数μ和标准差σ,可记作N(μ,σ):均数μ决定正态曲线的中心位置;标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小,曲线越陡峭;σ越大,曲线越扁平。  (5)u变换:为了便于描述和应用,常将正态变量作数据转换。 2.正态曲线下面积分布   (1)实际工作中,正态曲线下横轴上一

5、定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比,或变量值落在该区间的概率(概率分布)。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。  (2)几个重要的面积比例 轴与正态曲线之间的面积恒等于1。正态曲线下,横轴区间(μ-σ,μ+σ)内的面积为68.268949%,横轴区间(μ-1.96σ,μ+1.96σ)内的面积为95.449974%,横轴区间(μ-2.58σ,μ+2.58σ)内的面积为99.730020%。   3.正态分布函数特征 若已知的密度函数(频率曲线)为正态函数(曲线)则称已知曲线服从正态分布,记号 ~

6、 。其中μ、σ2 是两个不确定常数,是正态分布的参数,不同的μ、不同的σ2对应不同的正态分布。   (1)μ是正态分布的位置参数,描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=μ为对称轴,左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同,均等于μ。  (2)σ描述正态分布资料数据分布的离散程度,σ越大,数据分布越分散,σ越小,数据分布越集中。 也称为是正态分布的形状参数,σ越大,曲线越扁平,反之,σ越小,曲线越瘦高。  4.标准正态曲线 (1)标准正态分布是一种特殊的正态分布,标准正态分布的μ和σ2为0和1,通常用

7、ξ(或Z)表示服从标准正态分布的变量,记为 Z~N(0,1)。  (2)标准化变换:此变换有特性:若原分布服从正态分布 ,则Z=(x-μ)/σ ~ N(0,1) 就可从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。  (3) 标准正态分布表:标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X(当前值)范围内的面积比例 。  5.一般正态分布与标准正态分布的转化   由于一般的正态总体 其图像不一定关于y轴对称,对于任一正态总体 ,其取值小于x的概率 。只要会用它求

8、正态总体 在某个特定区间的概率即可。 “小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件,认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识:一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的,因为试验次数多了,该事件当然是很可能发生的;二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时,我们也有5%的犯

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