《复变函数》主要内容浏览式复习

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1、教材：吴，复变函数，华工出版社参考:[1]西安交大，复变函数，高教出版社[2]杨纶标，复变函数，科学出版社复变函数论多媒体教学课件覃永安15302276149mayaqin@scut.edu.cn2010.9第一章、复数与复变函数1.1复数复数:复数相等是指?虚数?纯虚数?复数的四则运算:复平面:复平面:模：非零复数的辐角：复数的共轭：复数的三角表示:复数加、减法的几何表示如下图：基本不等式:例1试用复数表示圆的方程:例2设、是两个复数，证明：三角表示的乘法：三角表示的乘法：欧拉公式；指数表示式；三种表示式的互化:关键是会用表示幅角。复数的乘

2、幂：复数的乘幂：可以看到，k=0,1,2,…,n-1时，可得n个不同的值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上。这样，复数的乘幂可以推广到有理数的情形。例5、求所有值：解：由于所以有有四个根。复球面与无穷大:无穷远点:对应于球极射影为N，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，称为扩充复平面，记为。无穷远点:关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：它和有限复数的基本运算为：这些运算无意义：第一章复数与复变函数1.2复变函数复变函数的定义:注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若记z=x+iy，w=Re

3、f(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)等价于两个二元实变函数u(x,y)和v(x,y)。函数的几何意义:函数f也称为从E到C上的一个映射或映照。函数的几何意义:单射，双射，一一对应，反函数。复变函数极限的定义复变函数极限与实值函数极限注解：1、几何意义：2、与重极限的关系：3、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）复变函数连续性的定义复变函数连续性与实值函数连续性的关系注1、实初等函数在其有定义的地方连续。注解：1、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）；2、复合运算；3、关于实变连续的函数的基本性质也可以推广过

4、来：如一致连续性、闭区域上连续函数的基本性质（一致连续性、有界性、取到极大模和极小模等）。4、同样我们也可以定义非正常极限。例62.1解析函数导数解析Cauchy-Riemann方程解析的充要条件2.2(1)初等函数(1)指数函数与对数函数指数函数的定义：指数函数的基本性质对数函数的定义：对数函数的主值：三种对数函数的联系与区别：对数函数的基本性质2.2(2)初等函数(2)三角函数与反三角函数三角函数的概念:三角函数的基本性质:则对任何复数z，Euler公式也成立：cosz和sinz是单值函数；cosz偶，sinz奇;所有三角公式也成立.三角函数

5、的基本性质:cosz和sinz以为周期,零点也与实的一样.三角函数的基本性质:不成立:三角函数的基本性质:在整个复平面解析：其它三角函数反三角函数掌握计算表达式的推导方法2.2(3)初等函数（3）幂函数　　　双曲、反双曲函数幂函数的定义:当a为正实数，且z=0时，还规定幂函数的基本性质：等于n次方根.幂函数的基本性质：幂函数的基本性质：其中应当理解为某个分支。双曲函数chz和shz以2pi为周期,chz偶,shz奇(chz)'=shz,(shz)'=chz反双曲函数计算公式的推导方法类似于反三角函数第三章复变函数的积分3.1复积分定义、性质及计

6、算复积分定义:分割,取点,求和,取极限.直接计算法:把曲线参数方程代入化为定积分.存在性:连续函数必可积.性质:反向变号,线性,模不等式.一个重要例题:§3.2-3.3柯西-古萨基本定理复合闭路定理原函数与不定积分沿某一条曲线第三章复变函数的积分柯西-古萨基本定理连续变形原理复合闭路定理“牛莱公式”回忆以上内容,并总结一下求积分的方法第三章复变函数的积分3.4-3.5柯西积分公式高阶导数公式*调和函数第三章复变函数的积分复积分的定义、性质及计算柯西定理复合闭路定理原函数与不定积分本章小结柯西积分公式高阶导数公式*调和函数分割,取点,求和,

7、取极限.复积分概念:柯西-古萨定理:DC复合闭路定理:DC闭路变形原理:一个重要的结果:z0r.z0更一般:积分的模不等式:.z0柯西积分公式:z0平均值公式:.z0DC高阶导数公式:解析函数的无穷可微性（重要特性）由复合闭路定理,OC1C2Ci-ixy典型例子:更一般地,高阶导数公式的应用（补充知识,不要求掌握）柯西不等式:z0C刘维尔:复平面上解析且有界的复函数是常数.代数基本定理:在复平面上n次多项式至少有一个零点.实部和虚部调和;调和是实部,也是虚部.由实部或虚部求解析函数:偏积分法,不定积分法,线积分法.解析与调和总之,本章介绍了复积分

8、的概念和几个积分定理和公式,核心是掌握复积分的计算.已介绍的方法有:提要此外,还有用级数计算(ch4),用留数计算(ch5).(1)将曲