欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:5844211
大小:901.50 KB
页数:15页
时间:2017-12-25
《复变函数复习20100102》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第一章:考核要求:1、复数1.1复数的各种运算、表示法(应用)2.复数的乘幂和方根。(应用)3、复平面上点集平面点集的几个基本概念(领会)4初等函数指数函数、对数函数、幂函数(应用)三角函数、反三角函数、双曲函数与反双曲函数。(记住sinz和cosz的定义,其他三角函数可由此推导)要点:1、复数的表示2求主幅角方法3.方根函数、对数函数和幂函数运算。注意点:1、复数不能比较大小。例如i和2i不能比较大小。2、z=0的模为0,幅角不存在。3、当z为复数时,sinz,cosz的值可以大于1.第二章考核要求:1复极限、复连续(识记,与实数函数的定义类似)2、解析函数的概念与C-R条件1
2、.1复变函数可导与解析(领会)1.2解析函数的C-R条件(应用)3、初等解析函数例指数函数、幂函数、三角函数的解析性质(识记)4.调和函数的概念,解析函数与调和函数的关系(识记)注:若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R程,则称v为u的共轭调和函数,且f解析。要点:1、设,那么的必要与充分条件是且。注:可导的函数一定连续.2、函数在定义域内一点可导的必要与充分条件是:和在点可微,并且在该点满足柯西—黎曼方程注:如果可导,必须同时满足,只满足其中的一个式子不一定可导!!!3、求导公式:记住第一个式子,其他三个可以根据柯西-黎曼方程得到。.4函数在Z点可导,且在Z领域内也可导,则函
3、数在Z点解析5、已知函数的实部或虚部求解函数表达式的方法(两种)(1)偏积分法例1、已知是调和函数求解析函数解:(c为实数)(为实数)(2)线积分法同上例(为实数)(为实数)第三章考核要求:1、复积分的概念性质1.1复积分(识记、领会、应用,与实数积分类似)2、柯西积分定理(领会、应用)3、柯西积分公式及推论3.1柯西积公式与高阶导数公式(领会、应用)要点:1、积分2、例3.6(这是一个比较重要的结论,解题方法也是我们应该掌握的)计算积分,其中C为以为圆心,为半径的正向圆周,为整数。解:C的方程可以写作()当时,当时3、柯西定理:设C是一条简单正向闭曲线,在以C为边界的有界闭区域
4、D上解析,那么4、复合闭路定理:设D为由外线路C0及内线路C1,C2,…,Cn围成的有界多连通域,在多连通域D内及边界线C0,C1,C2,…,Cn上解析,那么(此定理可以用作求区域内含奇点的沿边界的积分,比较难理解)例如:求积分,其中C+为。解:以0和1为圆心在C内取两个半径为0.1的圆,设其边界为C1-,C2-则有复合闭路定理有:所以5、如果是定义在C上的解析函数,则只与和z有关,与积分路径无关。6、柯西积分公式:设在简单正向闭曲线C及所围成的区域D内处处解析,为D内任一点,那么7高阶导数公式:(说明:解析函数的高阶导数都是解析函数)设在简单正向闭曲线C及所围成的区域D内处处解
5、析,为D内任一点,那么,这里n=0,1,2,… 高阶导数应用的例子:求其中C为 由高阶导数公式可知所以 第四章考核要求:1、复级数的基本性质1.1复数项级数(理解)2、幂级数2.1幂级数(识记、应用)3解析函数的Taylor展式:(理解,应用)4.解析函数的罗朗展式(应用)要点:1、若,则收敛,收敛2、若级数收敛,则级数必收敛。3、收敛半径求法1:求法2:;对于含有不连续项(例:下面级数只含有z的偶次幂项)的级数求收敛半径时,不能再用上面的公式.我们应该利用定理计算比如:求级数的收敛半径所以原级数的收敛半径是2.(如果用公式来算的话,结果是1,不信你算算).4、
6、幂级数和函数的求法。幂级数和函数的性质:和函数在其收敛圆内是解析的,那么它在其收敛域内是可以逐次求导,逐次积分。5.泰勒级数。6、罗朗级数对于将函数表达式展成罗朗级数,我们一般是利用一些已知函数的函数(包括几何级数、e指数函数、正弦函数和余弦函数)展开式来将表达式展开。所以我们要注意已知函数的收敛半径,并利用题目已给的条件,化成满足条件的形式。例如:()展成罗朗级数。注:如果我们用来求解的时候,要求
7、z
8、<1(此为几何级数,比较重要,经常用来展开泰勒和洛朗级数)所以我们可以把函数表达式化成这样的形式如果z的取值范围是我们要把其中一些式化成含有的形式。第五章考核要求:1.解析函数的
9、孤立奇点(不包含无穷远点)(应用)孤立奇点的三种类型二、可去奇点三、极点四、本性奇点2.掌握留数的定义及计算方式。(不包含无穷远点)(应用)3、掌握留数定理求复变函数的积分;知道利用留数定理计算实积分的一般方法,并能计算常见的三种类型的简单积分。(应用)要点:1、孤立奇点(1)、可去奇点判定:存在且有限,或展开的洛朗级数后没负幂次项。(2)极点判定:利用罗朗级数,或者用存在。(3)本性奇点判定:罗朗级数(既非可去奇点,也不是极点),即有无穷个负幂项。2、m阶极点和零点的关系3、留
此文档下载收益归作者所有