复变函数复习课

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1、第一章复数及其表示，运算，几何意义，点集与区域，复变函数，极限与连续性复数及其表示实部，虚部z=x+iy复数的模任意两个复数不能比较大小。共轭复数复数的表示方法1.点的表示2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法幅角主值如下：复数的乘幂与方根1.复数的乘积与商2.复数的乘幂3.复数的方根区域1.区域的概念2.简单曲线（或Jordan曲线)3.单连通域与多连通域习题：请依次写出的代数、几何、三角、指数表达式和的3次方根。：复变函数的极限与连续性1.函数的极限定义定义中的方式是任意的与一元实变函数相比较要求更高.2.运算性质3.函数的连续性第二章解析

2、函数复变函数的导数定义(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举。解析函数的概念如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数(全纯函数或

3、正则函数）。如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有答案：初等函数1.指数函数2.三角函数和双曲函数—称为双曲正弦和双曲余弦函数3.对数函数4.乘幂与幂函数—一般为多值5.反三角函数与反双曲函数习题:答案：第三章复变函数的积分§3.1复变函数积分的概念§3.2柯西-古萨基本定理§3.3基本定理的推广§3.4原函数与不定积分§3.

4、5柯西积分公式§3.6解析函数的高阶导数§3.7解析函数与调和函数的关系习题1：答案：习题2：答案：第四章级数1.复数列的极限定理1性质：，定理2定理3定理42.幂级数称为幂级数定理1(阿贝尔(Able)定理）收敛半径的求法定理2(比值法)定理3(根值法)定理（泰勒展开定理）罗朗(Laurent)级数习题：答案第五章留数定义　设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)–1的系数c–1称为f(z)在z0的留数，记作Res[f(z),z0]或Resf(z0)。留数定理规则I规则II规则III求下列各函数在其孤立奇点

5、的留数。(1);(2);(3).解：（1）为的可去奇点,;（2）为的三阶极点,为的一阶极点,,;（3）为的本性奇点,,。第六章共形映射保角性：保交比不变性习题：答案：七、傅里叶变换（1）己知F，求函数的傅里叶变换；（2）求函数的傅里叶逆变换。解（1）F,F;（2）F-1F-1,