将军饮马中的线段和最小值问题

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1、数学北师大版新课标中考专题复习之《将军饮马中的线段和最小值问题》第一课时教案一.教学目标1、通过学习了解核心知识：-----将军饮马问题。2、能熟练的运用这种模型求两条线段之和或者多条线段和的最小值问题，事实依据是“两点之间，线段最短”。3、了解命题背景：这类问题经常将背景变化为角、三角形、特殊的四边形、圆、坐标系、抛物线等，但都有一个共同的特点：利用“轴对称性”化“折”“直”，并用勾股定理进行计算。二.课型专题复习课三.课时本节课为《几何探究题》的第6课时四、教学重点与难点重点：（1）能够理解“将军饮马”这种模型的

2、使用条件。（2）能够使用模型解决较为复杂的线段求和的最值问题。难点：能从具体问题中抽象出这种模型并解决问题。五、三维目标知识与技能：了解“将军饮马”模型的使用条件，并掌握化折为直的方法。过程与方法：经过探究“将军饮马中线段和的最值问题”的过程，发展学生合情推理意识，模型思想，以及应用意识。情感态度与价值观：培养了学生独立思考，勇于实践，乐于和他人合作的科学态度和品质，在数学的学习中渗透了国学诗词，培养学生的人文情怀。六.教学方法讨论法、讲授法、阅读，自主学习等。七.教学过程第一环节：自主学习一、复习回顾：唐朝诗人李颀

3、的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边m饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使的路程最短?设计意图：在引导学生回顾以往知识的基础上，展开对矩形定义和简单性质的自学，这部分的内容较容易完成，通过结合小组的奖励，增加学生的集体荣誉感，提升学生的学习积极性。这样设计既着重学生的学，也突出了学生在课堂中的主体地位，同时也进行了国学的渗透，体现了学科之间的联系。二、自主学习：请在规定的时间内完成大屏幕上的内容：1.

4、基本事实：两点之间最短。2.问题一：定点A、B在直线m的同侧，请在直线m上找一点P，使AP与BP的距离之和最小，并进行证明。3.问题二：在等边∆ABC中，AB=2，点E是AB的中点,AD是高，在AD上作出点P，使得BP+EP的值最小，并求最小值。B第3题图学生活动：学生通过阅读以及以往的学习基础，能很快理解这种模型使用的核心知识点，顺利解决前两个问题，可能在证明的时候会遇到困难，教师可适当讲解。教师活动：教师巡视，关注学生对这个模型的熟悉度，及时进行指导，学生对模型的证明尚有困难，教师进行适时指导。教师板书的内容：1

5、、将军饮马问题：模型的条件：（1）两定点；（2）一定直线；（3）一动点.做法：作点关于直线l对称的点B1，连接AB1交直线l于点P，点P即为所求。学生活动：1、独立完成布置的任务。2、派小组的代表板书第三题的解题过程。设计意图：在引导学生回顾以往知识的基础上，展开对将军饮马模型的证明和简单应用的自学，这部分的内容较容易完成，通过结合小组的奖励，增加学生的集体荣誉感，提升学生的学习积极性。这样设计既着重学生的学，也突出了学生在课堂中的主体地位。第二环节：合作交流说明：在同学们独立完成第一部分的任务之后，难度有所提升，背

6、景发生了变化，请发挥小组的力量完成下列任务：问题：在⊙O中，直径CD为4，点A在⊙O上，且∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为多少.学生活动：首先由学生自主完成任务，再与小组的其他成员合作交流，达成共识，并派代表上黑板进行矩形性质证明的板书，同时选派学生对书写的情况进行评价。教学活动：完成对学生所写说理过程的指导和评价，并评价学生板书的内容和方法。1、复杂背景下将军饮马的问题解决方法：学生方法展示：方法一：作点B关于CD的对称点B′,连接AB′交CD于点P,连接OA,OB′

7、∵∠ACD=30°∴∠AOD=60°又∵点B是弧AD的中点∴∠BOD=30°∴∠DOB′=30°∴∠AOB′=90°∴在Rt⊿AOB′中由勾股定理得AB′2=2OA2=2×22=8∴AB′=2√2方法二：第三环节：精讲问题：在矩形ABCD中AB=4,BC=6,G为边AD的中点，若E,F为边AB上的两个动点，点E在点F的左侧，且EF=1,当四边形CGEF的周长最小时，请你在图中确定E与F的位置，并求出四边CGEF周长的最小值。解析：学生活动：学生在老师的引导下完成辅助线的添加，在教师的引导下，实现“化折为直”完成证明和

8、计算。教师活动：这一道题难在辅助线的添加上，通过分析，了解到四边形周长的最小值实际是两条线段和的最小值问题，所以只需要将C平移到C′,实现F和E的无缝对接。教师将证明和计算过程作为示范书写在黑板上。设计意图：“将军饮马”的模型很好发现，但是要解决复杂背景下的证明和计算有些困难，所以作为本节课难点与学生共同完成，在辅助线的添加方法上，教师进行引导