将军饮马问题

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1、第第一讲将军饮马问题学习要点与方法点拨一、主要内容（1）将军饮马问题的概念。（2）将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。（3）将军饮马问题与勾股定理。二、本章重点掌握将军饮马问题的概念和解题思路，能解决将军饮马问题和一次函数、坐标系、几何图形和勾股定理等的综合习题。课前预习轴对称的性质与作法；一次函数的性质；勾股定理的性质；三角形、矩形、正方形的性质；三角形的三边关系、平移的性质。模块精讲一、将军饮马问题的概念和基本思路起源：古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的

2、问题：如图，有一位将军从位于A点的军营，返回位于B点的家中，途中需要到达一条小河MN边，让马去河里喝水。那么，该如何选择路径，才能使将军回家的过程中，走过的路程最短？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。ABMN初一看，这个问题好像没有什么思路，那我们先把问题的概念转换一下。这个问题中A点和B点在河MN的同一侧，那么，如果A点和B点在河MN的不同侧呢？这时我们好像有一点眉目了，我们要利用的定理就是：两点之间直线最短，先找线路再找点。那我们再回到最开始时的问题，是不是有了启发呢？思路：为了找线路，可以利用轴对称的

3、原理，先做对称，再转化成三角形的三边关系。例1，如图，一匹马从S点出发，先去河OP边喝水，再去草地OQ吃草，然后再回到S点。该如何选择线路，使得经过的总路程最短？Py河水A.SNBOQx草地OM例1图例2图一、将军饮马与坐标系例2，已知A(2,3)、B(3,2)，M是x轴上的一个动点，N是y轴上的一个动点，求AN+NM+BM的最小值，并求出此时M、N的坐标。思路：作对称①两段折线→作一次对称→转化折线三段折线→作两次对称→转化折线②连线段→最小值例3，已知A(-3,4)、B(-2,-5)、M(0,m)、N(0,m+1)，求BM+MN+AN的最小值，并求此

4、时对应的m的值。运用平移的性质例4，已知A(4,1)、B(-3,-2)，试在x轴上找一点C，是

5、AC-BC

6、最大，求出点C的坐标和这个最大值。构造三角形，运用三角形的边长关系二、将军饮马问题解题思路的归纳学习了几个常见的例子，我们再来整理一下思路。首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。1.怎么对称，作谁的对称？简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。（不确定的点作对称式没有意义的）那么作谁的对称点？首先要明确关于

7、对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。2.对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个顶点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。3.所求点怎么确定？首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。4.将军饮马一定是求最短距离吗？肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类题目。根据将军饮马的基本模型可以拓展出很多题型。根本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对称，还作了边长和角度的对称！或者说边长和角度的对称才是最关键。一、将军饮马与勾股

8、定理例5，如图，将军的军营在A处，与河岸的距离OA=4km，将军的家在B处。且QA=7km，QB=8km，他下班回家的路上先把马牵到小河边去饮水，然后再回到家中，求他下班回家要走的最短路程。O小河PA•BA1QB例5图例6图OAA2Q例6，如图，∠POQ=20°，A为OQ上的点，B为OP上的点，且OA=1，OB=2，在OB上取点A1，在OQ上取点A2，求AA1+A1A2+A2B的最小值。例7，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值。二、三角形、正方形中的将军饮马例8，如图，在等边△ABC中

9、，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2，求EM+EC的最小值。例8图例9图例9，如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是__________。例10，如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上,且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。例10图例11图例11，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为___________

10、_㎝例12，一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，