§2.8 差分方程的求解

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1、§2.8差分方程的求解北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院第2页主要内容1.迭代法2.齐次解+特解（自由响应+强迫响应）3.零输入响应+零状态响应（利用卷积求系统的零状态响应）北京邮电大学电子工程学院4.z变换法反变换y(n)（第六章）重点：差分方程解的形式难点：差分方程的全解中求待定系数北京邮电大学电子工程学院X第一．迭代法3页解差分方程的基础方法。差分方程本身是一种递推关系。但一般得不到输出序列yn的解析式。北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院X第例2-8-1

2、4页已知yn3yn1un，且y1,0求解方程。yyn111300yyn410311n2y23y1113北京邮电大学电子工程学院yyn1234033由递推关系,可得输出值：yn,1,413,40,北京邮电大学电子工程学院n0X第二．齐次解+特解5页1.齐次解：齐次方程的解ynayn10起始状态y,1y2,yN不能全为零由特征方程,0可得arar北京邮电大学

3、电子工程学院指数形式nnnyCaCr北京邮电大学电子工程学院X第求待定系数C：由初始状态决定6页2设y1,代入原方程，令n0ay0ay12由方程解yn0y0CaC所以C2齐次解北京邮电大学电子工程学院n2any求差分方程齐次解的步骤差分方程特征方程特征根y(n)的解析式由起始状态定常数北京邮电大学电子工程学院X第根据特征根，解的三种情况7页无重根.1nr阶方程rr21nnnnrCrCrCny1122nn2.有重根ki－1n北京

4、邮电大学电子工程学院kyn重根：Cnrii13.有共轭复数根北京邮电大学电子工程学院X第例2-8-28页求解二阶差分方程nynyny02615已知yy1。1,202特征方程rrrr032065特征根1r2r3,2北京邮电大学电子工程学院nn齐次解1CC2n3y200CCyn2定,CC2121CCyn1321121解出CC3,512nn所以yn北京邮电大学电子工程学院5323X第例2-8-

5、39页求方程1612nynynyn0y的解。382特征方程323r6r12r80r20北京邮电大学电子工程学院所以r三重根2nn2nynC2Cn2Cn2123给定初始(边界)条件即可求出常数,,CC321C北京邮电大学电子工程学院X第例2-8-410页jj设1e2MreMrnnrCrCny1122jnjneMCeMC12nnsinjcossinjncosnMC12nnPC

6、CPMcosnQMsinn12北京邮电大学电子工程学院P,Q为待定系数QjCC()121nyM为等幅正弦序列M1yn为增幅正弦序列1nyM为减幅正弦序列北京邮电大学电子工程学院X第2.特解11页线性时不变系统输入与输出有相同的形式。输入输出anannxeAneyjnjnxneynAecosnnxnAny)cos(北京邮电大学电子工程学院sinnnxnAny)sin(kynAnkAnk1AnAxn

7、nkk110xnAynCnnrnxynCr北京邮电大学电子工程学院nnnxnr（r与特征根重）ynC1nrC2rX第例2-8-512页512nunyny求全解。且y11rr202n齐次解Cny2h1特解因为北京邮电大学电子工程学院5nnunx时全为05（常数）所以Cnyp代入原方程求特解nCC()0525所以C全解形式3北京邮电大学电子工程学院n5ynyhnypn

8、C123X第13由边界条件定系数页由y1迭代出1n0y)0(52y()13n5代入　解Cny2，得13530Cy北京邮电大学电子工程学院134所以C134n5所以yn2n033北京邮电大学电子工程学院X第三．零输入响应+零状态响应14页1.零输入响应：输入为零，