差分方程求解.ppt

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1、第八节差分方程一、差分二、差分方程的概念三、一阶常系数线性差分方程四、二阶常系数线性差分方程一、差分微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问题中,有些变量不是连续取值的.例如,经济变量收入、储蓄等都是时间序列,自变量t取值为0,1,2,,数学上把这种变量称为离散型变量.通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.定义1设函数y=f(x),记为yx,则差yx+1yx称为函数yx的一阶差分,记为yx,即yx=yx+1yx.(yx)=yx+1yx=(yx+2yx+1)(yx+1yx)=yx+22yx+1+yx为二阶差分,记为

2、2yx,即3yx=(2yx),同样可定义三阶差分3yx,四阶差分4yx,即4yx=(3yx).2yx=(yx)=yx+22yx+1+yx例1求(x3),2(x3),3(x3),4(x3).解(x3)=(x+1)3x3=3x2+3x+1,2(x3)=(3x2+3x+1)=3(x+1)2+3(x+1)+1(3x2+3x+1)=6x+6,3(x3)=(6x+6)=6(x+1)+6(6x+6)=6,4(x3)=(6)6=0.二、差分方程的概念定义2含有自变量、未知函数及其差分的方程,称为差分方程.差分方程的一般

3、形式为F(x,yx,yx,,nyx)=0.(1)差分方程中可以不含自变量x和未知函数yx,但必须含有差分.式(1)中,当n=1时,称为一阶差分方程；当n=2时,称为二阶差分方程.例2将差分方程2yx+2yx=0表示成不含差分的形式.解yx=yx+1yx,2yx=yx+2yx+1+yx,代入得yx+2yx=0.由此可以看出,差分方程能化为含有某些不同下标的整标函数的方程.定义3含有未知函数几个时期值的符号的方程,称为差分方程.其一般形式为G(x,yx,yx+1,,yx+n)=0.(2)定义3中要求x,yx,yx+1,,yx

4、+n不少于两个.例如,yx+2+yx+1=0为差分方程,yx=x不是差分方程.差分方程式(2)中,未知函数下标的最大差数为n,则称差分方程为n阶差分方程.定义4如果一个函数代入差分后,方程两边恒等,则称此函数为该差分方程的解.例3验证函数yx=2x+1是差分方程yx+1yx=2的解.解yx+1=2(x+1)+1=2x+3,yx+1yx=2x+3(2x+1)=2,所以yx=2x+1是差分方程yx+1yx=2的解.定义5差分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与差分方程的阶数相等,这样的解称为差分方程的通解.三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性

5、差分方程的一般形式为yx+1ayx=f(x).(3)其中a为不等于零的常数.称为齐次差分方程;当f(x)0时,称为非齐次差分方程.当f(x)=0时,即yx+1ayx=0(4)先求齐次差分方程yx+1ayx=0的解设y0已知,代入方程可知y1=ay0,y2=a2y0,yx=axy0,令y0=C,则得齐次差分方程的通解为yx=Cax.(5)例4求差分方程yx+1+2yx=0的通解.解这里a=2,由公式(5)得,通解为yx=C(2)x.定理设y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方程(4)的通解,再讨论非齐次差分方程yx+1ayx=

6、f(x)解的结构是(3)的一个特解,则程(3)的通解.是方下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.(1)令f(x)=b0+b1x++bmxm设特解的待定式为或(6)(7)其中B0,B1,,Bm为待定系数.例5求差分方程yx+12yx=3x2的一个特解.解这里a=2,设代入差分方程,得B0+B1(x+1)+B2(x+1)22(B0+B1x+B2x2)=3x2.整理,得(B0+B1+B2)+(B1+2B2)xB2x2=3x2.比较系数,得B0+B1+B2=0,B1+2B2=0,B2=3.解出B0=9,B1=6,B2=3,故所求

7、特解为例6求差分方程yx+1yx=x+1的通解.解对应的齐次方程yx+1yx=0的通解为这里a=1,设(x+1)[B0+B1(x+1)]x(B0+B1x)=x+1.整理,得2B1x+B0+B1=x+1.比较系数,得2B1=1,B0+B1=1,解出故所求通解为代入差分方程,得(2)f(x)=Cbx设特解的待定式为或(8)(9)其中k为待定系数.例7求差分方程的通解.解对应的齐次方程的通解为因为故可设特解为则解出则所求通解为四、二阶常系数线性差分方程形如yx+2+ayx+1+byx=f(x).(10)(其中a,b0,且均为常数)的方程,称为二阶常系数线

8、性差分方程.称为齐次差分方程;当f(x)0时,称为非齐次差分方程