2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

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1、2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析2已知函数fx()xax(2)ln(xx1)2（1）若a0，证明：当10x时，fx()0；当x0时，fx()0；（2）若x0是fx()的极大值点，求a.考点分析综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。具体而言，第1问，给定参数a的值，证明函数值与0

2、这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中x20这一隐藏特点，把ln(1)x前面的系数化为1，判断ln(1)x与2/(xx2)之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性

3、而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，x0是fx()的极大值点的充要条件是存在0和0使得对于任意x(,0)都满足fx()f(0)=0(或者121fx()单调递增)，对于任意x(0,)都满足fx()f(0)=0(或者fx()单调递减)，因此解答本题的关键是2讨论函数fx()在x0附近的单调性或者判断fx()与f(0)的大小关系。题目中并没有限定参数a的取值范围，所以要对实数范围内不同a取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断a0以及a0时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断a0时的情况。官方标准答案中将2问题等价转

4、化为讨论函数hx()xln(xx1)/(2)在x0点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。下面就a值变化对函数fx()本身在x0附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。x2解：（1）当a0时，fx()x(2xx)ln(1)2，fx()xln(1)2，x1xf

5、x()，定义域为(1,)；当10x时，fx()0，fx()单调递减；当x02(1)x时，fx()0，fx()单调递增，所以在区间(1,)内fx()f(0)0(从而fx()在(1,)内单调递增;故当10x时，fx()f(0)0；当x0时，fx()f(0)=0，得证.（2）若a0，当x0时，fx()x(2xx)ln(1)20，此时x0不是fx()的极大值点，不合题意；下面考虑a0时函数fx()在x0附近的单调性.22xaxfx()ax(12x)ln(1)+2，x1，f(0)0

6、；x123ax(41)axfxa()=2ln(x1)，x1，f(0)0；2(1)x22(6ax1)ax6a1fx()，x1，fa(0)61；3(1)x2令gx()ax2(6ax1)a61，显然gx()与fx()在(1,)有着相同的正负号；61aa4gx()是以x1为对称轴且开口向下的抛物线，所以对于任意a0，gx()44aa在(1,)单调递减.1若a，当10x时，gx()g(0)0即fx()0；当0x时，gx()g(0)06即fx()0；所以fx

7、()在(1,0)上单调递增，在(0,)单调递减；所以fxf()(0)0；所以fx()在(1,)上单调递减，所以当x(1,0)时，fx()f(0)0，fx()单调递增，当x(0,+)时fx()f(0)0，fx()单调递减，此时x0恰好是fx()的极大值点，满足题意；1若a0，因为ga(0)610，所以必然存在一点x0使得gx()0；在区间116(0,)x内，gx()0成立，fx()单