高三理科压轴题训练(导数与数列)

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1、压轴题冲刺训练1.已知函数，（1）试讨论函数的单调区间；（2）若不等式对于任意的恒成立，求的取值范围。2.己知函数．(1)求函数的定义域；(2)求函数的增区间；(3)是否存在实数，使不等式在时恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．3.已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．5.已知函数f(x)=。（1）若函数f(x)在[1，+∞）上为增函数，求正实数的取值范围；（2）当=1时，求f(x)在[，2]上的最大值和最小值。（3）求证：对于大于1的正整数n

2、，。6.已知在数列中，，其中，是函数的一个极值点.(1)求数列的通项公式；(2)若，，求证：.7.已知函数（I）当a=-1时，求f（x）的最大值；（II）对图象上的任意不同两点，证明图象上存在点，且图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行；（III）当时，设正项数列满足：若数列是递减数列，求的取值范围。答案：1.已知函数，（1）试讨论函数的单调区间；（2）若不等式对于任意的恒成立，求的取值范围。解:（1）当时，函数定义域为，在上单调递增当时，恒成立，函数定义域为，又在单调递增，单调递减，单调递增当时，函数定义域为，在单调递增，单调递减，单调递增当

3、时，设的两个根为且，由韦达定理易知两根均为正根，且，所以函数的定义域为，又对称轴，且，在单调递增，单调递减，单调递增（2）由（1）可知当时，时，有即不成立，当时，单调递增，所以在上成立当时，，下面证明：即证令单调递增，使得在上单调递减，在上单调递减，此时所以不等式所以由（1）知在单调递增，单调递减，所以不等式对于任意的恒成立当时，由函数定义域可知，显然不符合题意综上所述，当时，不等式对于任意的恒成立2.己知函数．(1)求函数的定义域；(2)求函数的增区间；(3)是否存在实数，使不等式在时恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．解:

4、（1）函数的定义域是……3分（2）函数的增区间为．………8分（3）时,在区间上,当时,取得最大值．．在时恒成立．在时恒成立．在时恒成立．在时的最大值等于．当时，不等式在时恒成立．………14分3.已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．解：（Ⅰ）函数的定义域为证明奇函数略（Ⅱ）由时，恒成立，∴∴在成立令，，由二次函数的性质可知时函数单调递增，时函数单调递减，时，∴（Ⅲ）=证法一：设,则时，，即在上递减，所以，故在成立，则当时,成立．………14分证法二：构造函数，当时，，

5、∴在单调递减，……12分当（）时，5.已知函数f(x)=。（1）若函数f(x)在[1，+∞）上为增函数，求正实数的取值范围；（2）当=1时，求f(x)在[，2]上的最大值和最小值。（3）求证：对于大于1的正整数n，。解：（1）a≥1（2）易证x=1是f(x在[，2]上唯一的极小值点，∴[f(x)]min=f(1)=0又f()-f(2)=-2ln2=>0，∴f()>f(2)，∴[f(x)]max=f()=1-ln2（3）由（1）知f(x)=在[1，+∞）上为增函数，当n>1时，令x=，则x>1，故f(x)>f(1)=0，即f()=+ln=-+ln>0

6、，∴ln>6.已知在数列中，，其中，是函数的一个极值点.(1)求数列的通项公式；(2)若，，求证：.解：(1)由题意得：，即故，则当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以由此式对也成立，所以（2），因为，所以，则，有故7.已知函数（I）当a=-1时，求f（x）的最大值；（II）对图象上的任意不同两点，证明图象上存在点，且图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列满足：若数列是递减数列，求的取值范围。