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1、3.3幂函数东营市第一中学高一备课组2009.10.29上课了．．．我国著名数学家华罗庚教授在其《数学的用场与发展》中指出:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”我们先看下面几个具体问题：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积(2)如果立方体的边长为a，那么立方体的体积(3)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长S=a2，这里S是a的函数；V=a3，这里V是a的函数；,这里a是S的函数；想一想这些函数有什么共同的特征？它们有以下共同特点：(1)都是函数；(3)均是以自变量为底的幂；(2)指数为常数.一般地，函数y=xα
2、叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.幂函数中α的可以为任意实数.注意:议一议:幂函数与指数函数共同点与不同点是什么?式子名称axy指数函数:y=ax幂函数:y=xa底数指数指数底数幂值幂值幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数1.判断下列函数是否为幂函数.(1)y=x4(3)y=-x2(5)y=3x2(6)y=x3-22.若幂函数y=f(x)的图象过点,则函数的解析式为__________√x√x√x在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象.打开几何画板(-∞,0)减
3、(-∞,0]减(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)公共点(0,+∞)减增增[0,+∞)增增单调性奇非奇非偶奇偶奇奇偶性[0,+∞)R[0,+∞)R值域[0,+∞)ＲＲＲ定义域y=x-1y=x3y=x2y=x函数性质常见幂函数的性质(1)幂函数的图象都通过点(2)如果α＞０，在区间[0,+∞)上是如果a＜０，在区间(0,+∞)上是当α为偶数时，幂函数为探究：幂函数的性质增函数减函数(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数偶函数；(1,1)打开几何Xy110y=x2y=x3y=x1/2Xy110y=x-1y=x-2y=x-1/2a>0a<0（1）图象都过（0，0）点和（1，1
4、）点；（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在[0，+∞)上是增函数。（1）图象都过（1，1）点；（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在（0，+∞）上是减函数。（3）在第一象限，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。例一、比较大小：（1）1.53/51.73/5（2）0.71.50.61.5（3）2.2-2/31.8-2/3（4）0.15-1.20.17-1.2<<>>例二、求下列函数的定义域：（1）y=(2x+5)1/2（2）y=(x-3)-1/5(1)解:y=x≥-5/2函数y=(2x+5)1/2的定义域为[-5/2，+∞).解：y=解不等式x–3≠0
5、得X≠3函数y=(x-3)-1/5的定义域为(-∞,3)∪(3,+∞).解不等式2x+5≥0得例１ 比较下列各组数的大小:利用幂函数的增减性比较两个数的大小.注意:当不能直接进行比较时,可在两个数中间插入一个中间数,间接比较上述两个数的大小练习将下列函数序号填在相应图象下面的括号里。练习幂函数在第一象限的图象如图所示，试比较m、n、p的大小。练习、给定函数解析式：则图象关于y轴对称的函数是＿＿＿；则图象关于原点对称的函数是＿＿＿；则互为反函数的两个函数是＿＿＿。例2、解:考虑函数在[0,+∞)上为单调增函数∴由条件有解得：改为：例3：已知幂函数f(x)=为偶函数且在区间上是单调减
6、函数，（1）则函数解析式是＿＿＿；（2）讨论函数g(x)=的奇偶性例3.证明幂函数在[0,+∞)上是增函数．证明：任取x1,x2∈[0,+∞)，且x1＜x2，则小结(1)幂函数的定义；(2)(3)利用幂函数的单调性判别幂函数值大小一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.掌握幂函数的图象和性质课堂小结：1.幂函数的定义2.幂函数的定义域3.幂函数的图象和性质课后作业：1.比较大小：（1）0.53/5——0.493/5（2）8.1-1/5——8.01-1/5（3）(3/5)-5——(4/5)-5（4）——2.求下列函数的定义域：（1）（2）习题3.3作业
