高等背景初等解法三异面直线赛题的背景与引申

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1、万方数据2005年第7期15；毒．：等{一i{鸷

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6、“懈j法——三异面直线赛题的背景--5引申1罗增儒(陕西师范大学数学系，710062)1直觉有意外答案有缺憾1997年，竞赛命题与高考命题不约而同地考虑到三异面直线有公共交线问题．1．1“巧思妙解”有潜在的漏洞笔者曾为1997年全国高中数学联赛提供过一道三异面直线问题．例1如果空间三条直线口、b、C两两成异面直线，那么，与直线口、b、C都相交的直线有()．(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无穷多条(1997，全国高

7、中数学联合竞赛)凭直觉有可能会选(A)，而正确答案却是(D)，这对有些人也许多少有点意外，因为此题对逻辑推理能力与空间想象能力都提出了较高要求．文[1]的参考答案提供了下面构造平行六面体的解法，后来在一些杂志上曾作为“巧思妙解”而多次出现．解：首先，无论直线12,、6、C的位置关系是怎样的，总可作一个平行六面体ABCD—Al曰，C1D，，使AB在直线口上，B1cl在直线6上，DD。在直线c上．再在DD。的延长线上任取一点M，由点M与直线口确定一个平面口，平面口与直线曰，G。交于点尸，与直线A。D。交于点

8、Q，则PQ／／o，如图1．于是，在平面Ot内，直线PM不与直线。平行，PM必与。交于一点Ⅳ．这样，直线MN就同时与直收稿日期：2005—03—21线o、b、C相交．由于点M的取法有无穷多种，因此，同时与直线口、b、C都相交的直线有无穷多条．故选(D)．作为选择题，图1可以否定(A)、(B)、(C)，图1从而选(D)．但作为命题依据还应考虑到直线口、b、C平移到一点时会共面的情况，这时，平行六面体就作不出来了．如此一来；“无论直线口、b、c的位置关系是怎样的，总可作一个平行六面体”就存在逻辑漏洞(虽然不难

9、填补)，而改为“不失一般性，考虑⋯⋯”或许好一些．这对构造图形解题的教训是，对于实现了题目条件的图形可能只是其中的一种情况(充分而不必要)．无独有偶，当年高考中也曾有过类似的题目，叙述上也有类似的疏漏．1．2高考命题的“包装”技术文[2]首先给出下面的命题：命题1已知空间中口、b、C为三条两两异面的直线．试证明：存在无穷多条直线与直线口、6、C都相交．文[2]中从“包装”改题的角度说，为了克服证明“无穷多”的困难，降低一点难度，便逐次“改题”，最后，把这三条两两异面的直线“包装”一下，放到一个几何体(正

10、方体)中，便万方数据16中等数学得到例2．例2在正方体ABCD—AlBlClDl的棱BA．A所在的直线上有一异于A、A．的点P，如图2．试过点P作一B条直线与BC、C。D，都相交．图2这与例1的构图解法想到了一块儿．文[2]认为例2与命题l本质上是一样的，“如果作出了过点P且与BC、C，D，都相交的直线，可以推想出，点P位置不同时，这样得到的直线也必然不同，这就证明了与直线AA．、BC、C，D。(它们两两不共面)都相交的直线有无穷多条．因而，实际上我们又回到原题，这才是问题的本质．”这段分析容易使人产生

11、误解：例2成立则命题l也成立．其实，例2只是命题1的一种情形，还有直线Ⅱ、b、C均平行于同一平面的情形未考虑．若这种情形下结论不成立，则例2真而命题1假．2高等背景初等解法2．1直纹曲面的背景由空间解析几何知，二次直纹曲面有两族母线，每一族均由无穷多条两两异面的直线组成，不同族的任两条母线均相交．这就是命题1的高等背景．换一个角度，在两两异面的直线a、b、C上各取三点，由这九个点可以确定一个二次曲面all石2+a22Y2+a33z‘+2a23yz+2a3lZ,X+2口12彬+2a14戈+2a24Y+2a

12、34z+a44=0．由于此二次曲面与直线a、b、C中的每一条都有三个公共点，所以，它把这些直线整条包括在内．注意到，在各种二次曲面中，只有单叶双曲面和双曲抛物面才能含有两两异面的三条直线，因而，通过更细致的讨论可得：(1)若直线a、b、c同时与某一平面平行，则沿直线a、b、c滑动的直线组成双曲抛物面；(2)若直线a、b、c不能同时与某一平面平行，则沿直线a、b、c滑动的直线组成单叶双曲面．这表明，例1的处理只考虑了单叶双曲面的情况，而忽略了双曲抛物面的情况．因此，完整的处理应补上双曲抛物面的情况．2．2

13、初等解法对命题1我们给出中学生可以接受的两个证明，同时作为对联赛题答案的完善．证法1：在直线a上任取一点A，过A作直线b。∥b，c。∥C．分两种情况讨论。(1)若直线a、b，、c，共面，如图3，过直线b、b．作平面口，过直线C、C。作平面p，由平面口、p有公共点A知，平面Ot、口必相交于过A的一条直线，，蹴丝跫记为Z．图3在平面a内，直线Z与直线b．相交于点A，必与直线b。的平行线b相交，记交点为B；在平面p内，直线z与直线c，相交于点A，