高等背景下初等问题的解法探究

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1、2010届高三A班测试(1)—高等背景下初等问题的解法探究1.函数/(%)=(X~1)ln(¥~2)的零点有(A)兀一3A.0个B.1个C.2个D.3个7T2.若0VXV—,则下列命题中正确的是(D)233A.sinx<—xB.sinx>—x71兀c•42,•42C.sinx<—D.smx>—x兀_3.给出定义：若函数/(兀)在D上可导，即f(x)存在，且导惭数/'(兀)在D上也可导，则称/(兀)在D上存在二阶导数，记/”(兀)=(/‘(兀))'，若/"(x)v0在D上恒成立，则称/(兀)在D上为凸函数，以

2、下四个函数在(0,彳)上不是凸函数的是DA.f(x)=sinx4-cosxB./(x)=x-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=-xe~x4•定义：若存在常数Zr,使得对定义域D内的任意两个不同的实数坷,花，均有

3、/(西)-/(兀2)

4、"丨坷-兀2丨成立，则称函数/(X)在定义域D上满足利普希茨条件。对于函数/(%)=(x>1)满足利普希茨条件，则常数k的最小值是C11A.2B.lC.-D.-235.已知二次函数/(兀)二尼+2兀+(的值域是[0,+oo),那么亠+#_的最小值是Ba+1c+

5、1A.-B.1C.2D.326.设/(兀)是定义在R上的奇函数，且当兀$0时，/(x)=%2,若对任意的xg[6r+2],不等式/(x+0^2/(x)恒成立,则实数/的取值范围是AA.[VI+8)B.[2,+8)C.(0,2]D.卜呵7.函数/(x)满足/(兀+y)=/(x)+/(y)+xy(x+y)，又f(0)=1,则函数/(兀)的解析式为/(牙)=**3+牙8.已知函数f(x)=—―也孚.对于下列命题：(#+1)(才_2兀+2)①函数/(x)是周期函数；②函数/(X)既有最大值又有最小值；③函数/⑴的定

6、义域是R,且其图象有对称轴；④对于任意XG(-1,0)，函数/(兀)的导函数『(x)<0.其屮真命题的序号是—②③—•(填写出所有真命题的序号)5.已知函数/(%)=ax2e~x,a0,xgR.(T)讨论/(x)的单调性.(II)当a>0时，讨论关于兀的方程e4fM~a=0的实根的个数.解：(1)依题fx)=ae~x(-x2+2x),(1分)令厂(兀)二0,即：6z(-x2+2x)>0.(2分)易知，当a>0时，/(兀)在［0,2］上单调递增，(4分)在(-oo,0)和(2,+8)上单调递减.(6分)当a

7、vO时，/(无)在(-oo,0)和(2,+oo)上单调递增，(7分)在［0,2］上单调递减.(8分)(II)由(I)知当a>0时，(9分)(12分)/⑴极小=/(0)=0,/⑴极大=/(2)=乎(10分)y(11分)2X又当兀>0或jvvO时，f(x)>0,可见/(x)的图象如下：而方程e^j/(x)-a=0,转化为e~可见，当竺时，即。>4时，原方程有一解.◎e同理：。=4时，原方程有两解.0

8、D上也可导，则称/(兀)在D上存在二阶导数，记f=(f定义2：函数在D上的二阶导数恒正，fx)>0在D上恒成立，则称/(兀)在D上为凹函数,11(1)判断f(x)=X3—一兀2+1在区间［_,+oo)上是否为凹函数？说明理由;2213(2)求证：对任意€(-,4-00),函数f(x)=X3—一兀？+1都有/(列；兀)5*［/(乂1)+/(兀2)〕成立•(3)结合(1)、(2)的结论，请你归纳出区间D上的凹函数的一个性质：应用该性质证明：对正项等差数列｛%｝总有/<-«,+臨)(1)v/(x)=3x2-3x

9、,.fx)=6x-3,•.•兀>*,f(x)>0,/.f(x)是凹函数。(2)作差(过程略)(3)若函数f(x)在区间D上为为凹函数,则对任意的x19x2GD,总有/(洱理)S£［/*)+/(兀2)］成立。构造函数f(x)=xn(n>2),则f(兀)=处心，fx)=n(n-)xn~20从而函数/(x)在D上为凹函数。因为{/}是正项等差数列，所以①=丄⑺心+陽+】)，于是由凹函数性质得/心宁也)吕［/(%)+/(%)］,即X5”+O11.已知函数/(X)=111(兀+1)+飯,当兀=0时，函数/'(

10、兀)収到极大值。(1)求实数G的值；(2)已知％］,兀2丘(一1,+°°)且西工兀2,构造函数g(兀)二一(x-x()+f(xt)；xl-x2求证：对任意xw(x1?x2)都有/G)>g(x);(3)已知正数A}，久2,…，久“满足&+入T久“=1("wN,nn2),求证：当N,n>2BJ',对任意大于-1且互不相等的实数兀］,兀2,…，兀“都有/(&兀］+&兀2+…+2“无“)>入/(兀1)+久2./(%2)+