高等背景下初等问题的解法探究

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1、2010届高三A班测试(1)—高等背景下初等问题的解法探究1.函数/(%)=(X~1)ln(¥~2)的零点有(A)兀一3A.0个B.1个C.2个D.3个7T2.若0VXV—,则下列命题中正确的是(D)233A.sinx<—xB.sinx>—x71兀c•42,•42C.sinx<—D.smx>—x兀_3.给出定义:若函数/(兀)在D上可导,即f(x)存在,且导惭数/'(兀)在D上也可导,则称/(兀)在D上存在二阶导数,记/”(兀)=(/‘(兀))',若/"(x)v0在D上恒成立,则称/(兀)在D上为凸函数,以

2、下四个函数在(0,彳)上不是凸函数的是DA.f(x)=sinx4-cosxB./(x)=x-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=-xe~x4•定义:若存在常数Zr,使得对定义域D内的任意两个不同的实数坷,花,均有

3、/(西)-/(兀2)

4、"丨坷-兀2丨成立,则称函数/(X)在定义域D上满足利普希茨条件。对于函数/(%)=(x>1)满足利普希茨条件,则常数k的最小值是C11A.2B.lC.-D.-235.已知二次函数/(兀)二尼+2兀+(的值域是[0,+oo),那么亠+#_的最小值是Ba+1c+

5、1A.-B.1C.2D.326.设/(兀)是定义在R上的奇函数,且当兀$0时,/(x)=%2,若对任意的xg[6r+2],不等式/(x+0^2/(x)恒成立,则实数/的取值范围是AA.[VI+8)B.[2,+8)C.(0,2]D.卜呵7.函数/(x)满足/(兀+y)=/(x)+/(y)+xy(x+y),又f(0)=1,则函数/(兀)的解析式为/(牙)=**3+牙8.已知函数f(x)=—―也孚.对于下列命题:(#+1)(才_2兀+2)①函数/(x)是周期函数;②函数/(X)既有最大值又有最小值;③函数/⑴的定

6、义域是R,且其图象有对称轴;④对于任意XG(-1,0),函数/(兀)的导函数『(x)<0.其屮真命题的序号是—②③—•(填写出所有真命题的序号)5.已知函数/(%)=ax2e~x,a0,xgR.(T)讨论/(x)的单调性.(II)当a>0时,讨论关于兀的方程e4fM~a=0的实根的个数.解:(1)依题fx)=ae~x(-x2+2x),(1分)令厂(兀)二0,即:6z(-x2+2x)>0.(2分)易知,当a>0时,/(兀)在[0,2]上单调递增,(4分)在(-oo,0)和(2,+8)上单调递减.(6分)当a

7、vO时,/(无)在(-oo,0)和(2,+oo)上单调递增,(7分)在[0,2]上单调递减.(8分)(II)由(I)知当a>0时,(9分)(12分)/⑴极小=/(0)=0,/⑴极大=/(2)=乎(10分)y(11分)2X又当兀>0或jvvO时,f(x)>0,可见/(x)的图象如下:而方程e^j/(x)-a=0,转化为e~可见,当竺时,即。>4时,原方程有一解.◎e同理:。=4时,原方程有两解.0

8、D上也可导,则称/(兀)在D上存在二阶导数,记f=(f定义2:函数在D上的二阶导数恒正,fx)>0在D上恒成立,则称/(兀)在D上为凹函数,11(1)判断f(x)=X3—一兀2+1在区间[_,+oo)上是否为凹函数?说明理由;2213(2)求证:对任意€(-,4-00),函数f(x)=X3—一兀?+1都有/(列;兀)5*[/(乂1)+/(兀2)〕成立•(3)结合(1)、(2)的结论,请你归纳出区间D上的凹函数的一个性质:应用该性质证明:对正项等差数列{%}总有/<-«,+臨)(1)v/(x)=3x2-3x

9、,.fx)=6x-3,•.•兀>*,f(x)>0,/.f(x)是凹函数。(2)作差(过程略)(3)若函数f(x)在区间D上为为凹函数,则对任意的x19x2GD,总有/(洱理)S£[/*)+/(兀2)]成立。构造函数f(x)=xn(n>2),则f(兀)=处心,fx)=n(n-)xn~20从而函数/(x)在D上为凹函数。因为{/}是正项等差数列,所以①=丄⑺心+陽+】),于是由凹函数性质得/心宁也)吕[/(%)+/(%)],即X5”+O11.已知函数/(X)=111(兀+1)+飯,当兀=0时,函数/'(

10、兀)収到极大值。(1)求实数G的值;(2)已知%],兀2丘(一1,+°°)且西工兀2,构造函数g(兀)二一(x-x()+f(xt);xl-x2求证:对任意xw(x1?x2)都有/G)>g(x);(3)已知正数A},久2,…,久“满足&+入T久“=1("wN,nn2),求证:当N,n>2BJ',对任意大于-1且互不相等的实数兀],兀2,…,兀“都有/(&兀]+&兀2+…+2“无“)>入/(兀1)+久2./(%2)+

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