初等数学问题的高等数学解法枚举

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1、理工科研2007.7(上旬刊)初等数学问题的高等数学解法枚举□邓勇周振鑫(喀什师范学院数理系新疆·喀什844006)摘要通过实例给出了若干初等数学问题的十种高等数学解法,从而揭示了高等数学与初等数学的相通性,进而去指导初等数学教学工作,是一个值得研究的课题。关键词初等高等数学问题解法中图分类号:G427文献标识码:A文章编号:1672-7894(2007)07-192-03高等数学的许多思想方法和中学数学是相通的,有些甚至可以x1x2xnn++Λ+≥,直接迁移到中学数学中来。高等数学的方法不仅可以使我们居高临x

2、11+x12+Λ+x1jx21+x22+Λ+x2jxn1+xn2+Λ=xnjn-1下地去观察初等数学问题,帮助我们确定解题思路,有时还能够帮其中:xi1,xi2,L,xij是集合A={x1,x2,L,xn}中的个j元素,且xij≠xi,i=1,助我们剖析某些问题的实质,寻求简捷的解法。本文通过实例来说2,Λ,n.j∈{1,2,Λ,n-1},且当j=n-1时等号成立.明用高观点去审视初等数学问题的优势和必要性。uxxx证:设m"1,2,L,n#一、微积分理论的应用x+x+L+xx+x+L+xx+x+l=x,!11

3、121j!21222j!n1n2nj组合数求和是代数中常见的问题,它的计算方法灵活,不易掌in"!x(x+x+L+x),!x(x+x+L+x),L,!xn(x+x+L=x)$握.微积分是研究函数的有力工具,利用它的基本原理解决组合数111121j221222jn1n2njui2xxx2的求和计算,往往能达到事半功倍的效果。则1+2+Λ+n=mu≥(m,n)12n-1x+x+Λ+xx+x+Λ+xx+x+Λ=xr2CCn-1C11121j21222jn1n2nj例1已知S=1-n+n-L+(-1)n,求S。nnn2

4、3n212n(x1+x2+L+xn)解:因为(1-x)n=1-Cx+Cx2-L+(-1)nCxn,所以两边积分有=nnnx(x+x+L+x)+x(x+x+L+x)+L+x(x+x+L+x)111121j221222jnn1n2nj12n(1-x)n+1CCC(x+x+L+x)-=x-nx2+nx3-L+(-1)nn+C≥12n2n+123n+1nnn12n-12&x1%xi+x2%xi+xn-1%xn’令x=0,得C=1,令x=1,得1-Cn+Cn-L+(-1)n-1Cn=i=2i=3i=nn+123nnnnn

5、22n因为(x+x+Λ+x)=%x+2&x1%xi+x2%xi+Λ+xn-1%xn(1-(-1)212ni.所以,当n为奇数时,Sn=;当n为偶数时,Sn=0。i=1i=2i=3i=nnn+1nnnnnn二、同余理论的应用2nx≥&1%xi+x2%xi+Λ+xn-1%xn(+2&x1%xi+x2%xi+Λ+xn-1%xn(例2若存在正实数n,使得1335+1105+845+275=n5,求n的值。n-i=2i=3i=ni=2i=3i=n解:设n的个位数为R(n),分以下几步解决问题:nnn1°先对n进行初步估值

6、=2n&x1%xi+x2%xi+Λ+xn-1%xn(n-i=2i=3i=n因为1.335<10,1.15<10,0.845<1,0.275<1,所以1335+1105+845+275<2005所以x1+x2+L+xn≥2n/(n-1)=n,于是133

7、、行列式理论的应用即R(n)=R(133+110+84+27)=4由于行列式与数列、多项式存在许多结合点,这就使得我们可3°求n的十位数以行列式为工具来解决数列或多项式中的某些问题。由于等式两边关于3同余,即1335+1105+845+275=n5(mod3),而1335+1105+845+275=15+25+05+05=0(mod3)例4设Sl,Sm,Sn分别为数列的{an}前l项、前m项、前n项的所以n5能被3整除,从而n能被3整除,于是n=144或174。alSl1又由于等式两边关于7同余【2】,而133

8、5+1105+845+275=2(mod7),和,证明{an}是等比数列的充分必要条件是amSm1=0所以.又因为1445=2(mod7),1745=4(mod7),所以n=144。aS1nn三、向量代数理论应用证明:必要性.设{an}是等比数列,则Sl=λ+μal,(λ,μ≠1为常uiuuiuiuiui数)【5】=λ+μa,(λ,μ≠1为常数)。矢量m和n的内积为m·n=m·ncos