3.3 垂径定理

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1、义务教育课程标准实验教科书浙江版《数学》九年级上册3.3垂径定理请观察下列三个银行标志有何共同点?在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD,然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。强调：1.圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴2.圆的对称轴有无数条．OCD合作学习如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O直径.思考OCDABE(1)该图是轴对称图形吗？(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系,使它成为轴对称图形?合作学习在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦AB,AB与CD相交于点E,然后

2、沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线、弧互相重合?能够重合的圆弧叫做相等的圆弧,那么在右图中,哪些圆弧相等?请用命题的形式表述你的结论.ABEOCD分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.ABCDOE归纳得出：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．定理的几何语言∵CD为直径，CD⊥AB∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒OC⊥AB条件CD为直径CD⊥ABCD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧AB结论理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴对称性，可得射线EA与EB重合，∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧A

3、D和弧BD重合．∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OC平分AB吗？OCDABE已知：CD为直径，CD⊥AB求证：EA=EB，AC=BC，AD=BD︵︵︵︵●OABCDM└●OABCM└●OABM└●OABCDM└辨一辨．ABCODE辨一辨如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠COE=∠DOEB．CE=DEC．OE=BED．BD=BC⌒⌒C如图，AB是AB所对的弦，AB的垂直平分线DG交AB于点D，交AB于点G，给出下列结论：⌒⌒②AG=BG①DG⊥AB其中正确的是_____

4、___（只需填写序号）①②③③BD=AD⌒⌒辨一辨例1、如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。C1088解:作OC⊥AB于C,由定理得:AC=BC=1/2AB=0.5×16=8由勾股定理得:圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距如上图中的OC的长就是弦AB的弦心距答:截面圆心O到水面的距离为6。变式：如图，一条排水管的截面。已知水面宽AB=16，水深为4，求排水管的半径。DC1088例2、已知AB如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点。⌒E1.连结AB;⌒2.作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;作法:∴点E就是所求AB

5、的中点.⌒分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的垂直平分线就能把AB平分.⌒⌒变式一：求弧AB的四等分点．CDABEFGmn求弧AB的四等分点．CDABＭFG错在哪里？1．作AB的垂直平分线CD2．作AT、BT的垂直平分线EF、GHＴＥＮＨＰ强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．变式二：你能确定弧AB所在圆的圆心吗？OABCab方法：只要在圆弧上任意取三点，连结两条弦，画这两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧所在圆的圆心．画一画●O●M1、如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且使AM=

6、BM.你能画过点M最长的弦呢?你还能画过点M最短的弦呢?例3、已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB．求证：AC=BD．证明:作OM⊥AB，垂足为M,则CM=DM∵OA=OBOM⊥AB∴AM=BM∴AM-CM=BM-DM即AC=BD．OABCMD1、已知⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的弦心距为5cm，求弦AB的长。做一做2、在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB，计算：⑴点O与AB的距离；⑵∠AOB的度数。3、过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（）A．3B．6cmC．cmD．9cmA4、如图，⊙O的直径为10，

7、弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3