3.3垂径定理

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1、3.3垂径定理教学设计（彭娜—辽宁省彰武县两家子九年制学校）一．概述垂径定理是九年数学下册第三章《圆》的选学内容，它揭示了垂直于弦的直径与这条弦和弦所对的弧之间的内在联系，既是对上一节圆的对称性的应用也为以后解决圆的相关问题奠定基础，由垂径定理的得出使学生的认知从感性到理性，从具体到抽象有助于培养学生的思考问题的严谨性，提高语言表述的能力。因此本节课在教学中有着不可忽视的作用。二.教学目标：1.知识与技能：（1）利用圆的轴对称性探索垂径定理及其逆定理；（2）应用垂径定理及其逆定理解决圆的相关问题。2.过程与方法：（1）经历利用轴对称的性质和全等三角形的相

2、关知识探索、推理、归纳垂径定理的过程，进一步体会研究几何图形的各种方法；（2）发展学生合情推理的能力，体会类比思想在数学学习中的运用。3.情感与态度：通过探究活动培养学生勇于尝试、积极探索的精神以及实事求是的科学态度和严谨的表达思维。三.学习者特征分析：九年级学生在七年级时学习过图形轴对称的概念和性质，具备探索垂径定理的活动经验。此外学生在八年级时学习过全等三角形的性质和判定，具有探索几何定理的基本技能。在本章的前两节学生认识并了解了圆的相关概念及圆的对称性，在平时的学习中掌握了探索图形性质的不同手段和方法，因此本节课的学习我们可以从轴对称图形的性质入手

3、，进而结合全等三角形的性质和判定定理探索、推理、归纳出垂径定理。四.重点、难点教学重点：垂径定理及其逆定理的证明教学难点：垂径定理的证明。五.教学过程课前准备：每人分发一张如下图的圆形纸片；为探究活动做准备。第一环节：探究引入活动内容：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.(1)右图是轴对称图形吗？(2)你能发现图中有哪些等量关系？想一想、猜一猜、折一折？活动目的：学生通过折叠手中的圆形纸片，利用轴对称的性质得到相等的线段和相等的弧。获得直观上的感悟。第二环节：证明垂径定理活动内容：已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条

4、直径，并且CD⊥AB，垂足为M求证：AM=BM,AC=BC,AD=BD。鼓励学生尝试自己去证明，小组讨论并运用自己的语言表述这一定理，最终得出垂径定理-垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。活动目的：折叠图形能够获得一个直观上的感悟，但数学知识需要有严谨的理论论证做支撑。学生通过亲自证明得出垂径定理，一能够加深对定理的理解和记忆，二通过对定理的归纳锻炼了学生严谨的表述能力和归纳能力。第三环节：垂径定理的逆定理的证明活动内容：如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD交AB于点M。（1）是轴对称图形吗？（2）你能发现图中有哪些等量关

5、系？先由学生独立探索，然后通过交流得出结论-平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的弧。活动目的：在探索交流中使学生进一步体会研究图形的多种方法。第四环节：典型例题活动内容：例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中的CD，点O是CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD,垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径。活动目的：本题是垂径定理的应用，解题时运用了列方程的方法。用代数方法解决几何问题，体现了数形结合的思想。通过本例的教学使学生积累如何添加辅助线的经验。第五环节：随堂练习活动内容：1.如图，AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径

6、，OC⊥AB于点D，若AB=8，OD=3，则⊙O的半径等于（）A.4B.5C.8D.102.如图，已知⊙的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值。3.如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO=3，BO=4，以点O为圆心，OA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A.B.C.D.4.如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A.2cmB.C.D.5.如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD的长。活动目的：精选五道练习题，将垂径定理和直角三

7、角形相结合，利用勾股定理、列方程的方法解决问题，丰富学生的解题经验，熟练运用添加辅助线的方法。第六环节：课堂小结活动内容：学生集体讨论归纳总结知识点和经验方法：1.知识点：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧；逆定理：平分弦的直径（不是直径）垂直于弦并且平分弦所对的弧。2.经验方法：通常连接半径或过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理或列方程解题。活动目的：通过回顾本节课各个环节，鼓励学生交流自己的收获和感想，加深对知识点和探索方法的理解和掌握，培养学生养成良好的归纳反思的学习习惯。第七环节：教学反思1.培养学生的学习方法教材为我们提

8、供了基本的教学素材，但在实际教学中我们可以做些适当调整，以便使这些素材更加丰富，