中考压轴题专题(八)抛物线与圆

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1、专题八：抛物线与圆1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．（1）求这个二次函数的表达式．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．专题八：抛物线与圆2．如图1，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求线段AB的长；（2）若以AB为直径的圆与直线x＝m有公共点，求m的取值范围；（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0），抛物线与x轴交于P，Q

2、两点，过C，P，Q三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n的值，若不存在，请说明理由．CPyOxQ图2ACyOxB图1专题八：抛物线与圆3．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点D，与直线y＝x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．OxyNCDEFBMA（2010年，潍

3、坊，24，12分）如图所示，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C（0，－3）．以AB为直径做⊙M，过抛物线上的一点P作⊙M的切线PD，切点为D，并与⊙M的切线AE相交于点E．连接DM并延长交⊙M于点N，连接AN．专题八：抛物线与圆（1）求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标；（2）若四边形EAMD的面积为4，求直线PD的函数关系式；（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）因为题中给出了二次函数与x轴的两个交点坐标，所以利用二次函数的交点式可求二次函数的解析式，然后转换成顶

4、点式，求出顶点坐标；（2）求直线PD的解析式就必须得到直线PD上的两个已知点的坐标，根据条件可求出D、E两点的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式；（3）将“四边形EAMD的面积等于△DAN的面积”转化为切点PD与x轴的位置关系，然后联立直线与二次函数的解析式求出点P的坐标．【答案】解：（1）因为抛物线与x轴交于点A（－1，0）、B（3，0）两点，设抛物线的函数关系式为y＝a（x＋1）（x－3），∵抛物线与y轴交于C（0，－3），∴－3＝a（0＋1）（0－3），解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，因此抛物线的顶点坐标为（1，－4）；（2）连接EM，∵EA、E

5、D是⊙M的切线，∴EA＝ED，EA⊥AM，ED⊥MD，∴△EAM≌△EDM，又四边形EAMD的面积为4，∴S△EAM＝2，∴AM·AE＝2，又AM＝2，∴AE＝2，因此E1（－1，2）或者E2（－1，－2），当点E在第二象限时，切点D在第一象限，在Rt△EAM中，tan∠EMA＝，故∠EMA＝60°，∴∠DMB＝60°，过切点D作DF⊥AB于F点，∴MF＝1，DF＝，则直线PD过E（－1，2）、D（2，）的坐标代入，则函数PD的解析式为y＝－．当点E在第三象限时，切点D在第四象限，同理可求直线PD专题八：抛物线与圆的解析式为y＝，因此直线PD的函数关系式为y＝－或y＝；（3）若四边形EAMD的

6、面积等于△DAN的面积，又S四边形EAMD＝2S△EAM，S△DAN＝2S△AMD，则S△EAM＝S△AMD，∴E、D两点到x轴的距离相等，∵PD与⊙M相切，∴点D与点E在x轴同侧，∴切线PD与x轴平行，此时切线PD的函数关系式为y＝2或y＝－2，当y＝2时，由y＝x2－2x－3得，x＝1±，当y＝－2时，由y＝x2－2x－3得，x＝1±，故满足条件点P的位置有4个，分别是P1（1＋，2）、P2（1－，2）、P3（1＋，－2）、P4（1－，－2）．【涉及知识点】抛物线、轴对称、直线与圆的位置关系、直线的解析式．【点评】本题是二次函数综合性试题，本题将抛物线、轴对称、直线与圆的位置关系、直线的解

7、析式融为一体，题型新颖，内容丰富，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．