梯形常用辅助线例析

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1、梯形常用辅助线例析河南李丰先由于梯形两腰具有不平行性的特殊性，所以在解决梯形有关问题时，常常通过作辅助线的方法将其分割为三角形、平行四边形、矩形等，从而把梯形问题转化为较为简单的问题。梯形常用的辅助线做法有平移一腰、平移一条对角线、作高、延长两腰等。如图例1如图⑴所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC⑴试说明AB=AD⑵若AD=2，∠C=600求梯形ABCD的周长解：⑴∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC∵AD∥BC∴∠DBC=∠ADB∴∠ABD=∠ADB∴AB=AD⑵过D作DE∥AB交BC于E∵AD∥BC,AB=CD,∴∠ABC=

2、∠C=600∵DE∥AB,∴∠DEC=∠ABC=600∴∠DEC=∠C=600∴△DEC是等边三角形，故EC=CD=DE∵AD∥BC，DE∥AB∴四边形ABED是平行四边形，由⑴知AB=AD∴四边形ABED是菱形，∴AB=BE=DE=AD=2∴EC=CD=DE=2∴梯形ABCD的周长=AD+DC+BC+AB=AD+DC+CE+EB+AB=10点拨：本题通过平移一腰，将梯形切割为一个平行四边形（菱形）和一个等边三角形，这是一种常用的方法，是梯形、平行四边形、三角形的综合。例2如图⑵铁路基横断面为等腰梯形ABCD，已知路基底宽AB=6m，斜坡BC与下底C

3、D的夹角为450，路基高2m，求下底CD的宽解：作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，∴BF∥AE又∵AB∥CD∴四边形ABFE为矩形，且AB=EF∵四边形ABCD是等腰梯形BC=AD∴△BCF与△ADE重合故CF=DE又∵∠C=450故BF=CF=DE∴CD=CF+EF+DE=2+6+2+10（m）点拨：梯形的铁塔、梯形的路基、梯形的横断面都是现实生活中常见的形状，常常从同一底的两个顶点向另一底作垂线，这样可以把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形，使问题得以解决。例3如图⑶等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD对角线AC⊥BD，AD=4㎝，BC=1

4、0㎝求梯形ABCD的面积解：过点D作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC交BC于E∵四边形ACFD是平行四边形∴DF=AC,CF=AD=4∵AC⊥BD,AC∥DF∴∠BDF=∠BOC=900∵AC=BD∴BD=DF∴BF=BC+CF=14∴DE=BF=7∴S梯形ABCD=（4+10）×7=49（㎝2）点拨：过梯形的一个顶点平移一条对角线，可以把梯形转化成平行四边形，从而使问题得到解决例4如图⑷，已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰AD的长为5，求该等腰梯形的周长解：过点F作MN∥AD交AB于M，交DC的延长线于N∵MN∥AD，DN∥AM

5、∴四边形AMND为平行四边形，∴AD=MN，DN=AM又∵CF=FB，∠N=∠FMB，∠B=∠FCN∴△FMB与△FNC关于点F成中心对称∴BM=CN,FM=FN又∵ED=EA,且AD=MN∴DE平行且等于FN同理可得EF=AM=AB－MB∴2EF=DC+CN+AB－MB=DC+AB∴周长=DC+AB+AD+BC=2EF+2AD=2（EF+AD）=22点拨：EF是等腰梯形的中位线，即E、F分别是腰AD、BC的中点，作另一腰的平行线，就可以把梯形转化为平行四边形和三角形，使问题得以解决。