08 梯形中常用的辅助线

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1、梯形中常用的辅助线　　梯形与平行四边形不同，它只有一组对边平行，在解决梯形中的问题时，常常需要作辅助线．梯形中常用的辅助线有如下几种．　　一、作梯形的高　　例1　如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC．求证：∠A＝∠B．　　证明：分别过D、C作AB的垂线，垂足分别为E、F．　　∵AB∥CD，　　∴DE＝CF．　　又AD＝BC，　　∴Rt△ADE全等于Rt△BCF．　　∴∠A＝∠B．　　二、平移一腰　　例2　已知：如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝BC＝DC．　　求证：AB＝2CD．　　证明：过D作DE∥CB，交AB于E．　

2、　∵AB平行于CD，且BC＝DC，　　∴四边形DEBC是菱形．　　∴DE＝BC＝AD．　　又∠A＝60°，　　∴△DAE为等边三角形．　　∴AE＝DE，又DE＝EB＝CD，　　∴AE＝EB＝CD，　　∴AB＝2CD．三、平移一条对角线　　例3　已知：如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．　　证明：过D作DE∥CA，交BA延长线于E．则四边形DEAC是平行四边形．　　∴DE＝AC＝DB，　　∴∠E＝∠DBA．　　又∠CAB＝∠E，　　∴∠DBA＝∠CAB．　　于是，可得　　△DAB≌△CBA，　　∴AD＝BC，　　∴

3、梯形ABCD是等腰梯形．四、作梯形的中位线　　例4　已知：如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE．求证：AD＋BC＝AB．证明：取AB的中点F，连结FE．则AD＋BC＝2EF，　　∵∠AEB＝90°，　　∴AB＝2EF．　　∴AD＋BC＝AB.　　五、对角线绕中点旋转180°　　例5　已知：如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是BD、AC的中点．求证：MN∥BC，MN＝（BC－AD）．　　证明：连结并延长AM，交BC于E．则△AMD≌△EMB．　　∴AM＝ME，AD＝BE，　　又N是AC的中点，　　∴MN＝EC，　　

4、故MN∥BC,MN＝（BC－AD）．　　六、利用一腰中点旋转180°　　例6　已知：如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD＋BC＝AB，E是CD的中点．求证：AE⊥BE．　　证明：延长AE、BC相交于点F．易证△AED≌△FEC．　　∴AD＝CF，　　 AE＝EF，　　∵AD＋BC＝AB，∴CF＋BC＝AB，　　即BF＝BA．　　∴BE是等腰△BAF底边上的高．　　∴AE⊥BE．　　说明：在图5中，△BME相当于由△DMA绕点E旋转180°得到；在图6中，△CEF是由△DEA绕点E旋转180°得到．　　七、平移两腰　　例7　已知：如图7，在梯形ABCD

5、中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90°，M、N分别是DC、AB的中点．求证：MN＝（AB－CD）．　　证明：过M作ME∥DA、MF∥CB，分别交AB于E、F．则∠MEF＝∠A，∠MFE＝∠B.　　而∠A＋∠B＝90°，　　∴∠MEF＋∠MFE＝90°，　　∴∠EMF＝90°，　　又AE＝DM＝MC＝FB，AN＝NB,　　∴EN＝NF，MN＝EF，　　即MN＝（AB－CD）．　　八、延长两腰　　例8　同例7．　　证明：如图8，延长AD、BC相交于O，连接OM、ON．易得∠AOB＝90°．　　∴ON＝AB＝AN．　　∴∠AON＝∠A，　　同理∠DOM＝∠ODM，　

6、　   OM＝CD，　　而∠A＝∠DOM，　　∴∠AON＝∠AOM，　　∴O、M、N三点共线．　　∴MN＝ON－OM＝（AB－CD）．