云南中考数学《专项二：解答题》精讲教学案类型②　与圆的切线有关的证明

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1、类型②　与圆的切线有关的证明,备考攻略)1．切线的证明．2．切线的性质的运用．证明切线连半径或者作垂直拿不准．在证明切线时，若切点明确，则“连半径，证垂直”，若切点不明确，则“作垂直，证半径”．在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化，要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线．1．若切点明确，则“连半径，证垂直”．常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；2．若切点不明确，则“作垂直，证半径”．常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；完成两个

2、层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点)；②直线与半径的关系是互相垂直．在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化，要善于进行由此及彼的联想、总结常添加的辅助线．,典题精讲)　　　　　　　　　　　　　　　　　方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连接OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直．【例1】(2017沈阳中考)如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C.(1)求证：

3、EF是⊙O的切线；(2)若sin∠EGC＝，⊙O的半径是3，求AF的长．【解析】(1)连接OE，根据圆周角定理可得∠EOG＝2∠C，因∠ABG＝2∠C，即可得∠ABG＝∠EOG，即可判定AB∥OE，再由EF⊥AB，可得∠AFE＝90°，即可得∠GEO＝∠AFE＝90°，即OE⊥EG，又因为OE是⊙O的半径，所以EF是⊙O的切线；(2)第6页根据已知条件易证BA＝BC，再求得BA＝BC＝6，在Rt△OEG中求得OG＝5，在Rt△FGB中，求得BF＝，即可得AF＝AB－BF＝.【答案】解：(1)详见解析；(2).1．如图，在△A

4、BC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，以B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切．证明：连接OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD.∴＝，∠BOD＝∠EOD.又∵OB＝OE，OF＝OF，∴△BOF≌△EOF(SAS)．∴∠OBF＝∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF＝90°.∴EF与⊙O相切．2．已知：如图AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB＝30°，BD＝OB，D在AB的延长线上．求证：DC是⊙O的切线．证明：连接OC

5、，BC.∵OA＝OC，第6页∴∠A＝∠ACO＝∠30°.∴∠BOC＝∠A＋∠ACO＝60°.又∵OC＝OB，∴△OBC是等边三角形．∴OB＝BC.∵OB＝BD，∴OB＝BC＝BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切线．　3．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2＝OD·OP.求证：PC是⊙O的切线．证明：连接OC.∵OA2＝OD·OP，OA＝OC，∴OC2＝OD·OP，＝.又∵∠COD＝∠COD，∴△OCP∽△ODC.∴∠OCP＝∠ODC.∵CD⊥AB，∴∠OCP＝90°.∴PC是⊙O的切线．　方法二：若直线l与⊙O没有已

6、知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题)．【例2】(2017绥化中考)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.(1)求证：CD与⊙O相切；(2)若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值．【解析】(1)过点O作OG⊥DC，垂足为G，先证明∠OAD＝90°，从而得到∠OAD＝第6页∠OGD＝90°，然后利用AAS可证明△ADO≌△G

7、DO，则OA＝OG＝r，则DC是⊙O的切线；(2)连接OF，依据垂径定理可知BE＝EF＝12，在Rt△OEF中，依据勾股定理可求得OF＝13，然后可得到AE的长，最后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求解即可．【答案】解：(1)过点O作OG⊥DC，垂足为G.∵AD∥BC，AE⊥BC于E，∴OA⊥AD.∴∠OAD＝∠OGD＝90°.在△ADO和△GDO中，∴△ADO≌△GDO，∴OA＝OG，∴DC是⊙O的切线；(2)如图所示：连接OF.∵OA⊥BC，∴BE＝EF＝BF＝12.在Rt△OEF中，OE＝5，EF＝12，∴OF

8、＝＝13.∴AE＝OA＋OE＝13＋5＝18.∴tan∠ABC＝＝.4．已知：如图，AC，BD与⊙O切于A，B，且AC∥BD，若∠COD＝90°.求证：CD是⊙O的切线．证明：连接OA，OB，作OE⊥CD，点E为垂足．∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠1＋