三角函数公式推导及应用

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1、三角函数公式推导及应用两角和的正弦与余弦公式：（1）       sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；（2）       cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；教材的思路是在直角坐标系的单位圆中，根据两点间的距离公式推导：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； 再用诱导公式证明： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；如图所示：∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）；C[cos（α+β），sin（

2、α+β）]。∵  OA=OB=OC=OD=1∴  CD=AB。∵  CD2=[cos（α+β）-1] 2+[ sin（α+β）-0] 2；       =cos2（α+β）- 2cos（α+β）+1 + sin2（α+β）；       =2-2 cos（α+β）。   AB2=（cosα-cosβ）2+ （sinα+sinβ）2；      =cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β；      =2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。∴   2-2 cos（α+β）=2-2[cosαcosβ

3、- sinαsinβ]。∴   cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβ ∴   sin（α+β）= cos（90°-α-β）                =cos[（90°-α）+（-β）]                =cos（90°-α）cos（-β）- sin（90°-α）sin（-β）                =sinαcosβ+cosαsinβ又tan(α-β)=sin(α-β)/cos(α-β)=（sinα·cosβ-cosα·sinβ）/（cosα·cosβ+sinα·sinβ）同除cosα·cosβ,得tan(

4、α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)同理，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)正弦、余弦的和差化积公式指三角函数中的一组恒等式以上公式可用积化和差公式推导，也可以由和角公式得到，以下用和角公式证明之。证明：由和角公式有，两式相加、减便可得到上面的公式（1）、（2），同理可证明公式（3）、（4）。正切的和差化积 （附证明)cotα±cotβ=sin（β±α）/(sinα·sinβ）tanα+cotβ=cos（α-β）/(cosα·sinβ）tanα-cotβ=-cos（α+β）/(cosα·sinβ

5、）【注意右式前的负号】证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ）/(cosα·cosβ）=sin（α±β）/(cosα·cosβ）=右边∴等式成立2注意事项编辑在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然生动的口诀：（和差化积）帅+帅=帅哥[1] 帅-帅=哥帅哥+哥=哥哥哥-哥=负嫂嫂反之亦然语文老师教的口诀：口口之和仍口口cosα+c

6、osβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]赛赛之和赛口留sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]口口之差负赛赛cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]赛赛之差口赛收sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]另一口诀：正和正在先，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正差正后迁，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余和一色余，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·

7、cos[(α-β)/2]余差翻了天，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]另另一种口诀（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）：正弦加正弦，正弦在前面，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正弦减正弦，余弦在前面，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余弦加余弦，余弦全部见，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余弦减余弦，余弦（负）不想见，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·si

8、n[(α-β)/2]3记忆方法编辑和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指