§9.2两直线的位置关系

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1、§9.2　两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，则：l1∥l2⇔k1＝k2；当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行或重合．(2)两条直线垂直两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．2．两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．相交⇔方程组

2、有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．三种距离公式(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：

3、AB

4、＝.(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝.(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　×　)(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　×　

5、)(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　√　)(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　√　)(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　√　)2．若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，则a的值为(

6、　　)A.B.C．10D．－10答案　D解析　∵＝－2，∴a＝－10.3．直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________．答案　－4解析　因为两直线的交点在y轴上，所以点在第一条直线上，所以C＝－4.4．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为________________．答案　x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0解析　设l1的方程为x＋y＋c＝0，则＝.∴

7、c＋1

8、＝2，即c＝1或c＝－3.5．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的

9、距离是________．答案　解析　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，则两平行线间的距离为d＝＝.题型一　两条直线的平行与垂直例1　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．思维启迪　本题考查两直线平行或垂直成立的充分必要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况．解　(1)由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，直

10、线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)．∴此种情况不存在，∴k2≠0.即k1，k2都存在，∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.①又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②联立，解得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－a.③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，④联立③④，解得或∴a＝2，b＝－2

11、或a＝，b＝2.思维升华　当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．　已知两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.解　(1)方法一　当sinα＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sinα≠0时，k1＝－，k2＝－2sinα.要使l1∥l2，需－＝－2sinα，即sinα＝±.所以α＝kπ±，k∈Z，此时两

12、直线的斜率相等．故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.方法二　由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，所以sinα＝±.又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sinα≠0，即sinα≠－1.所以α＝kπ±，k∈Z.故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα＋s