计算方法六插值函数的应用

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1、插值函数的应用第5章插值函数的应用插值方法是一种重要的函数逼近方法，它在数值微积分和常微分方程数值解中有重要应用．由Newton-Leibniz公式，连续函数在上的定积分其中是的原函数。5.1.1数值求积公式及其代数精度无能为力。不能用初等函数表示，即找不到原函数；，，没有解析表达式，用表格方式给出时；大多数的无穷积分，除特殊的无穷积分外。N-L公式已经但是大多数实际问题，常常遇到的困难是：虽然找到的原函数，但是太复杂上述的积分就只能利用数值积分公式进行近似计算。（5-1）设是定义在上的可积函数，考虑带权积分在上非负可积，且至多有有限个零点。其中权函数所谓数

2、值求积就是用本节只讨论的情形。近似计算的值。．（5-2）数值求积公式公式（5-2）称为数值求积公式，是与无关的常数，称为求积系数，其中上的点称为求积节点。求积系数求积节点大家熟知第一积分中值定理：但是具体位置未知。其几何意义为：数值积分公式产生的背景矩形的面积=曲边梯形的面积。我们可以采用不同近似方法得到下述数值求积公式：称为左矩形数值求积公式；称为右矩形数值求积公式；称为中矩形数值求积公式；称为梯形数值求积公式。（称为步长），将分点取为插值节点（也是求积节点），得到的数值求积公式称为插值型求积公式。本节采用的逼近函数是在等距节点上的插值多项式，进行等分，令

3、将则可表示为它的Lagrange插值多项式及其余项之和，即（5-3）所以称为点的Newton-Cotes公式，其中求积系这样得到的插值型求积公式(5-6)（5-4）(5-5)求积余项(5-7)标志着求积公式的误差大小。时的三个公式，在Newton-Cotes公式中，最常用的是(5-8)此时这就是梯形求积公式：即梯形求积公式此时这称为Simpson求积公式：(5-9)进一步可得Cotes公式(5-10)Simpson求积公式Cotes求积公式练习题用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分解：由梯形求积公式：由Simpson求积公式：练习题用梯形求积公式和

4、Simpson求积公式计算积分解：由梯形求积公式：由Simpson求积公式：如果某个数值求积公式对比较多的函数能准确成立，即那么这个公式的使用价值就较大，可以说这个公式的精度较高．为衡量数值求积公式的精度，引进代数精度的概念。如果某个数值求积公式，对于任何次数不超过次的代数多项式都是精确成立的但对于次代数多项式不一定能准确成立，即则称该求积公式具有次代数精度．定义5.1次代数精度的充要条件是它对显然，一个数值求积公式具有这是确定代数精度的最常用方法。都能准确成立，但对不能准确成立。下面求梯形数值求积公式和Simpson数值求积公式的代数精度。，我们可得对于故

5、梯形数值求积公式具有1次代数精度。,我们可得对于故Simposon数值求积公式具有3次代数精度。而一般的n+1点Newton-Cotes公式的求积余项，有如下定理：当然也可以通过求积余项估计,得到代数精度．以下先推导几个求积余项，进而指出n+1点Newton-Cotes公式的代数精度。定理5.1若其中是奇数，且;若，则其中．定理5.1是偶数，且，则当为偶数时，由于对次多项式所以由上述定理可知，点的Newton-Cotes公式的代数精度为梯形公式、Simpson公式及Cotes公式的代数精度分别为1，3，5.当为奇数时，点的Newton-Cotes公式的代数精

6、度为本节讨论在大区间上，对于数值积分使用低阶Newton-Cotes5.1.2复化求积公式公式的分段解决办法。将等分成若干个小区间，在每个小区间上用点数少的Newton-Cotes公式，然后再对所有子区间求和。这样得到的数值求积公式称为复化Newton-Cotes公式.将区间进行等分，如果在每个子区间上用梯形求积公式，即每个子区间的长度则由此可得复化梯形公式同理可得复化Simpson公式(5-14）（5-13）复化梯形公式复化Simpson公式练习题解：由复化梯形求积公式：由复化Simpson求积公式：用复化梯形、复化Simpson求积公式计算积分本节介绍具

7、有最高代数精度的数值求积公式，即Gauss型求积插值型求积公式（并未要求取等距节点）的代数精度至少为5.2Gauss型求积公式公式。(5-32)形如，则可两点的求积公式为：两点的Newton-Cotes求积公式是等距节点的梯形公式：其代数精度为1。若不限制等距节点，我们特意的去选取由代数精度的的定义，分别取令可得到如下非线性方程组：即至少具有3次代数精度，又取时，。故具有3次代数精度。这样如果我们用代数精度最高原则，通过求解阶非线性方程组来确定所有和共个待定系数，就可以构造出具有次代数精度的数值积分公式。如果形如（5-32）的求积公式具有代数精度次，则称其为

8、Gauss型求积公式，并称其中的求积节点为Gauss