计算方法 Newton插值.ppt

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1、第2次Newton插值计算方法(NumericalAnalysis)牛顿插值多项式的概念差商及其性质牛顿插值多项式的系数与误差余项的导出利用牛顿插值多项式近似求解的例子牛顿插值多项式的概念§3均差与牛顿插值多项式拉格朗日插值多项式的优点与缺点优点：结构对称，使用方便。缺点：由于是用基函数构成的插值，要增加一个节点时，所有的基函数必须全部重新计算，不具备承袭性，还造成计算量的浪费。例如：3个节点，抛物插值的情况：若要新增加一个节点，而进行3次插值的时候，则需要重新计算试图改进：我们要构造一种具有承袭性的

2、插值多项式P(x)来克服这个缺点，即，每增加一个新节点时，只需在P(x)原来的表达式中增加相应的一项即可，而不改变P(x)的原来已经存在的表达式部分。这就是牛顿插值多项式的特点。可以证明,可将满足插值条件p(x0)=y0,p(x1)=y1，…p(xn)=yn的n次插值多项式,写成如下形式:其中ak(k=0,1,2,…,n)为待定系数。……基函数：(x-x0),(x-x0)(x-x1),…，(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)定义：给定n+1个插值节点x0,x1,…,xn,如下形式的插值多项式称为

3、Newton插值多项式：（3.12）其中ak(k=0,1,2,…,n)为待定系数。无xn,将出现在系数中……它满足以下的递推公式：…牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式p(x)的另一种表示形式,与Lagrange多项式相比它克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点,节省乘除法运算次数,在Newton插值多项式中用到的差商等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系.要确定牛顿插值多项式Nn(x)系数，需要利用下一节差商的计算。Home差商及其性质3.1差商及其性质定义：函数y=f(x)在区间[

4、xi,xi+1]上的平均变化率称为f(x)关于xi,xi+1的1阶差商。定义2阶差商定义m阶差商………2阶差商f[xi,xj,xk]是指一般地,可定义[xi,xi+1,…,xi+n]上的n阶差商：为了方便地计算差商，需要建立差商表。表中的箭头指向表示更高阶差商所需要的低阶差商的参与。xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2，xi+3]x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2

5、,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]………f[x1,x2]-f[x0,x1]x2–x0f[x1,x2,x3]-f[x0,x1,x2]x3–x0xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]002832751256216例2.11求f(x)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值。解:计算得如下表性质1函数f(x)的n阶差商f[x0,x1,…,xn]可由f(x0),f(x1),…,f(xn)的线性组合表示：差商的性质

6、验证同学自己验证真漂亮这种求解差商的方法的优点是直接使用公式，缺点是计算量较大。应理解：右端分母中，xk-xk项永远不出现。或者表示成以上公式可以利用如下的表达式直接验证性质2差商具有对称性,即在k阶差商中任意交换两个节点和的次序,其值不变。即：学生自己验证以上两个公式……性质3若f[x,x0,x1,…,xk]是x的m次多项式,则f[x,x0,x1,…,xk,xk+1]是x的m-1次多项式。注意：右端分子为m次多项式,且由差商的对称性可知，当x=xk+1时,分子为0,故分子含有因子xk+1–x，与分母

7、相消后，右端为m-1次多项式。证：由差商定义………常数性质4若f(x)是n次多项式,则f[x,x0,x1,…,xn]恒为0。证：f(x)是n次多项式，则f[x,x0]是n-1次多项式,f[x,x0,x1]是n-2次多项式。f[x,x0,x1,…,xn]0依次递推…，f[x,x0,x1,…,xn-1]是n-n次（零次）多项式，即常数c.所以性质5若f(x)存在k阶导数，则f(x)的k阶差商与其k阶导数之间有下列关系：证明：这个性质可直接用罗尔(Rolle)定理证明。Home…牛顿插值多项式的系数与误差

8、余项的导出牛顿插值多项式的系数与误差余项的导出的系数ak(k=0,…,n)可根据以下插值条件推出。………………一般，用数学归纳法可证明从上述各个公式中可以解出：将a1=f[x0,x1]代入下一个等式，得……n次牛顿(Newton)插值公式的表达式：………其余项为牛顿插值多项式的误差。……这里没有假设f(x)可导牛顿插值多项式余项公式的推导：设x为区间[a,b]上的一点，可得：…从前往后，将后式逐渐带入到前式,即得：根据1阶差商的定义根据2阶差商的定义推导