3、条件得到如下线性代数方程组：此方程组的系数行列式为此为范得蒙行列式，在线性代数课中，已经证明当，时，D¹0，因此，Pn(x)由a0,a1,…,an唯一确定。§2拉格朗日（Lagrange插值）1．线性插值线性插值也叫两点插值，已知函数y=f(x)在给定互异点x0,x1上的值为y0=f(x0)，y1=f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式P1(x)=ax+b使它满足条件P1(x0)=y0P1(x1)=y1（6.3）其几何解释就是一条直线，通过已知点A(x0,y0)，B(x1,y1)。图6.1由解
4、析几何，过两点A、B的直线方程可写为：（点斜式）（6.4）或改写成（对称式）（6.5）容易验证，P1(x)就是所求的一次多项式，称为f(x)的线性插值多项式。再研究对称式的结构。记则（6.5）式可写为（6.6）由于因此，l0(x)与l1(x)分别是适合函数表和的插值多项式。这两个插值多项式称作以x0,x1为结点的基本插值多项式。（6.6）式说明，满足条件（6.3）的一次插值多项式y=P1(x)可以由两个基本插值多项式、的线性组合来表示。例：用线性插值求（x*=10.723805）解：设，取x0=
5、100，x1=121则y0=10y1=11从而（点斜式计算出来的）线性插值也可构造《数学用表》中正弦、余弦、对数等数表的修正项。2．抛物插值线性插值计算方便、应用很广，但由于它是用直线去代替曲线，因而一般要求[x0,x1]比较小，且f（x）在[x0,x1]上变化比较平稳，否则线性插值的误差可能很大。为了克服这一缺点，有时用简单的曲线去近似地代替复杂的曲线，最简单的曲线是二次曲线，下面就研究用二次曲线去逼近复杂曲线的情形。设函数y=f(x)在给定互异的自变量值x0,x1,x2上对应的函数值为y0,
6、y1,y2，二次插值就是构造一个二次多项式使之满足（6.7）图6.2又因过三点的二次曲线为抛物线，故又称为抛物插值。注意，线性插值多项式可写为因此对二次插值多项式可设要想满足条件（6.7）就必须有：由（I）式知，x1,x2是l0(x)的根，所以有：再由得所以同理可推得：这样显然P1(x)的次数≤2，且满足P2(xi)=yi，i=0,1,2例：用抛物插值求，（x*=10.7238）解：设，函数表为x100121144y1011123．拉格朗日插值公式现在讨论插值的一般情形。设连续函数y=f（x）在
7、[a,b]上对给定n+1个不同结点：x0,x1,…,xn分别取函数值y0,y1,…,yn其中y i=f(xi)i=0,1,2,…,n试构造一个次数不超过n的插值多项式使之满足条件i=0,1,2,…,n类似地，同构造线性、抛物插值的方法，先求n次多项式lk(x)k=0,1,…,n使（6.8）若作出这样的，则Pn(x)的次数≤n，另外，由（6.8）i=0,1,2,…,n即Pn(x)满足插值条件（6.2）。于是问题归结为具体求出基本插值多项式lk(x)。根据（6.8）式，xk以外所有的结点都是lk(x
8、)的根，因此令又由lk(xk)=1，得：所以有：代入（6.8）式即得Pn(x)的表达式（6.9）（6.9）式称为拉格朗日插多项式。4．插值余项我们把差f(x)－Pn(x)称为用插值多项式Pn(x)代替f(x)的余项，误差或插值余项，记为：（6.10）下面讨论余项的形式。设x是区间[a,b]中任意固定的数，若x是插值节点xi，则，i=0,1,2,…,n，如果x不是节点，考虑如下函数：（6.11）其中由插值条件（6.2）知i=0,1,…,n而所以，j(t)在[a,b]上有n+2个互异零点。应用罗尔定
