计算方法-插值方法

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1、计算方法光信息插值方法插值多项式定义插值多项式的存在唯一性插值余项基函数构造拉氏插值多项式计算机实现分段线性插值其它插值方法介绍引例及问题综述引例1血药浓度问题为试验某种新药的疗效，医生对某人用快速静脉注射方式一次注入该药300mg后，在一定时间t(h)采取血样，测得血药浓度C数据如下试确定血药浓度C与时间t的函数关系。引例及问题综述引例2：标准正态分布函数引例及问题综述在生产实际及科学研究中，经常要研究变量之间的函数关系y=f(x)。若f(x)的表达式很复杂，或f(x)只能用一张数据表来表示，即只知道f(x)在一系列点x0、x1、…xn处的

2、函数值：这都会给研究带来困难。如何解决这类问题？当函数f(x)比较复杂或根本无法写出解析式时，往往寻求用一个熟悉的简单函数P(x)的去近似表示f(x),将研究f(x)的问题转化为研究函数P(x)的问题。XX0X1…XnF(x)F(x0)F(x1)…F(xn)插值/*Interpolation*/当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),…yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数g(x)f(x)，满足条件g(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的g(x)称为f(x)的插值函数。最常

3、用的插值函数是…?多项式x0x1x2x3x4xg(x)f(x)定理(唯一性)满足的n阶插值多项式是唯一存在的。证明：(p.105-106利用Vandermonde行列式论证)反证：若不唯一，则除了Ln(x)外还有另一n阶多项式Pn(x)满足Pn(xi)=yi。考察则Qn的阶数n而Qn有个不同的根n+1x0…xn注：若不将多项式次数限制为n，则插值多项式不唯一。例如也是一个插值多项式，其中可以是任意多项式。这样的插值多项式是否存在并且唯一呢？对此，有如下结论：拉格朗日多项式/*LagrangePolynomial*/niyxPiin,...

4、,0,)(==求n次多项式使得条件：无重合节点，即n=1已知x0,x1;y0,y1，求使得111001)(,)(yxPyxP==可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl称为拉氏基函数/*LagrangeBasis*/，满足条件li(xj)=ij/*KroneckerDelta*/n1希望找到li(x)，i=0,…,n使得li(xj)=ij；然后令==niiinyxlxP0)

5、()(，则显然有Pn(xi)=yi。li(x)每个li有n个根x0…xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(LagrangePolynomial与有关，而与无关节点f插值余项作为的近似一定存在误差，用来表示它的截断误差，也称之为余项。下面，我们导出其具体表达形式。【定理2】设在[a,b]上连续，在(a,b)内存在，节点，是满足插值条件(2.1)的插值多项式，则对任何，插值余项注：通常不能确定x,而是估计,x(a,b)将作为

6、误差估计上限。当f(x)为任一个次数n的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。Quiz:给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是l2(x)的图像？y0---10.5-0.5123456xy0---10.5-0.5123456xy0---10.5-0.5123456xABC例：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50并估计误差。解：n=1分别利用x0,x1以及x1,x2计算利用这里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推/*

7、extrapolation*/的实际误差0.01001利用sin500.76008,内插/*interpolation*/的实际误差0.00596内插通常优于外推。选择要计算的x所在的区间的端点，插值效果较好。n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的实际误差0.00061高次插值通常优于低次插值但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……计算机实现Hermite插值简介前述插值问题:要求被插函数与插值多项式在节点取相同值,Lagrange型插值条件然而,实际许多问题还常常要求两曲线

8、进一步有共同切线——插值条件为:求一次数求一次数的多项式，使之满足给定的Hermite型插值条件：Hermite插值也叫带指定微商值的插值,它要构造一个插值函数,不