知识点20 二次函数几何方面的应用2017（解答题）

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1、2017中考数学真题解析分类三、解答题32231.（2017重庆，26，12分）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yxx333与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当∆PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；3223（3）点G是线段CE的中点，将抛物线yxx3沿x轴正方向平移

2、得到新抛物线y'，y'经33过点D，y'的顶点为点F．在新抛物线y'的对称轴上，是否存在点Q，使得∆FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）首先求出A、E点的坐标，然后设出直线AE的解析式，并将A、E点的坐标代入，求得方程组的解，便可得到直线AE的解析式；（2）由抛物线解析式求得C点坐标，则可得出直线CE的解析式；过点P作PH∥x轴，交CE于点H，设水平宽铅垂高出P点坐标，可推出H点坐标，根据斜三角形面积公式“”可表示出∆PCE的面积，并可计2算出其面积最大时P点的坐标；分别作K关于CP、

3、CD的对称点的对称点K1、K2，将KM+MN+KN即可确定出转化成一条线段，由“两点之间，线段最短”及勾股定理计算出其最小值即可；（3）运用已知两定点时确定等腰三角形常用的方法“两圆一线”即可在抛物线y'的对称轴上找到符合条件2017中考数学真题解析分类的四个点，分别确定其坐标即可．3223解：（1）∵抛物线yxx3与x轴交于A，B两点，且点E（4，n）在抛物线上，333223∴xx30，解得：x1＝－1，x2＝3，∴A，B两点的坐标分别为（－1，0），（3，0）；3332235353y443＝，∴点E坐标为（4，

4、）．3333设直线AE的解析式的解析式为y＝kx+b，将A点、E点坐标分别代入，得：30kbk33353，解得：，∴y＝x+；4kb3333b353（2）∵令x＝0，得y＝3，∴点C（0，3），∵点E坐标为（4，），∴直线CE的解析式为y3233223＝x3，过点P作PH∥x轴，交CE于点H，如图，设点P的坐标为（t，tt3），则H333232332233243（t，t3），∴PH＝t3－（tt3）＝tt，33333311324323283∴SxxPH4t

5、ttt，PCE2EC2333383233∵0，抛物线开口向下，0t4，∴当t＝2时，S取得最大值，此时P为（2，PCE323233）；33∵点C（0，3），B（3，0），由三角形中位线定理得K（，），∵yC＝yP＝3，∴PC∥x轴，作22333K关于CP的对称点K1，则K1（，）；22313∵tanOCB3，∴∠OCB＝60゜，∵D（1，0），∴tanOCD，∴∠OCD＝33330゜，∴∠OCD＝∠BCD＝30゜，∴CD平分∠OCB，∴点K关于CD的对称点K2在y

6、轴上，又∵CK＝OC＝2017中考数学真题解析分类3，∴点K2与点O重合，连接OK1，交CD于点N，交CP于点M，如图，∴KM＝K1M，KN＝ON，∴KM+MN+KN＝K1M+MN+ON，根据“两点之间，线段最短”可得，此时KM+MN+KN的值最小，22333∴K1K2＝OK1＝3，∴KM+MN+KN的最小值为3；22432214322123（3）点Q的坐标为（3，），（3，），（3，23），（3，）．3332.（2017浙江衢州,22，10分）（本题满分10分）定义：如图1，抛物线y＝ax2

7、＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边需满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点坐标．（2）如图2，已知抛物线C：y＝ax2＋bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，3）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．2017中考数学真题解析分类思路分析：（1）所谓勾股点，即以AB为直径的

8、圆与抛物线的交点．y＝－x2＋1与x轴交点坐标为（1，0），（－1，0），故圆心为原点，半径为1，与抛物线交点为（0，1）.（2）由P点坐标可知∠PAB＝60°，又∠APB＝90°，从而求得B点坐标，利用待