中考数学试题分类汇编 知识点20 二次函数几何方面的应用

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1、知识点20二次函数几何方面的应用1.(xx贵州遵义,17题,4分)如图,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点,连接DE、DF,则DE+DF的最小值为______第17题图【答案】【解析】点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点,所以DE、DF是△PBC的中位线,DE=PC,DF=PB,所以DE+DF=(PC+PB),即求PC+PB的最小值,因为B、C为定点,P为对称轴上一动点,点A、B关于对称轴对称,所以连接AC,与对称

2、轴的交点就是点P的位置,PC+PB的最小值等于AC长度,由抛物线解析式可得,A(-3,0),C(0,-3),AC=,DE+DF=(PC+PB)=【知识点】三角形中位线,勾股定理,二次函数,最短距离问题2..(xx江苏淮安,14,3)将二次函数y=x2-1的图像向上平移3个单位长度,得到的图像所对应的函数表达式是.【答案】y=x2+2【解析】由平移规律“左加右减”、“上加下减”,可得平移后的解析式.解:.由平移规律,直线y=x2-1向上平移3个单位长度,则平移后直线为y=x2-1+3即y=x2+2故答案为y=x2+2.

3、【知识点】二次函数图象与几何变换3.(xx山东省泰安市,17,3)如图,在中,,,,点是边上的动点(不与点重合),过作,垂足为,点是的中点,连接,设,的面积为,则与之间的函数关系式为.【答案】【解析】,由可以知道线段DE、EC的数量关系,,则由勾股定理,可以将DE、EC用含x的代数式来表示,由点是的中点,则,从而列出与之间关系式.解:∵∴设,由勾股定理得:.∵,∴∴∵点是的中点∴故答案是:【知识点】三角函数,勾股定理,三角形中线性质,二次函数.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.1

4、8.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1.(xx湖北鄂州,23,12分)如图,已知直线与抛物线相交于A(-1,0),B(4,m)两点,抛物线交y轴于点C(0,),交x轴正半轴于D点,抛物线的顶点为M.(1)求抛物线的解析式及点M的坐标;(2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点,当△PAB的面积最大时,求此时△PAB的面积及点P的坐标;(3)点Q为x轴上一动点,点N是抛物线上一点,当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应

5、),求Q点的坐标.【思路分析】(1)将B(4,m)一次函数的关系式即可解得点B的坐标,再将A、B、C三点的坐标代入二次函数关系式即可求出其关系式,再将其化为顶点式就能得到点M的坐标;(2)过点P作PE⊥x轴,交AB于点E,交x轴与点G,过点B作BF⊥x轴于点F,则S△CDE=PE·AF,求出直线AB的关系式,设点P的坐标为(m,),则点E的坐标为(m,),即可得到S△CDE的函数关系式,将其化为顶点式即可求出最大值;(3)由勾股定理的逆定理可证得△MAD是等腰直角三角形,则QMN也是等腰直角三角形,从而得到点Q的坐标

6、.【解析】解:(1)将B(4,m)代入得,,∴B(4,),将A(-1,0),B(4,),C(0,)代入得,解得,∴抛物线的解析式为,,故顶点M的坐标为(1,-2);(2)如下图(1),过点P作PE⊥x轴,交AB于点E,交x轴与点G,过点B作BF⊥x轴于点F,∵A(-1,0),B(4,),∴AF=4―(―1)=5,设直线AB的关系式为y=kx+b,设点P的坐标为(m,),则点E的坐标为(m,),∵点P为直线AB下方,∴PE=()-()=,∴S△CDE=S△APE+S△BPE=PE·AG+PE·FG=PE·(AG+FG)

7、=PE·AF=×5()=,∴当时,△PAB的面积最大,且最大面积为,当时,,故此时点P的坐标为(,);(3)∵抛物线的解析式为,,∴抛物线的对称轴为:直线x=1,又∵A(-1,0),∴点D的坐标为(3,0),又∵M的坐标为(1,-2),∴AD=3―(―1)=4,AD2=42=16,AM2=(―1―3)2+(―1―3)2=8,DM2=(3―1)2+(―2―0)2=8,∴AD2=AM2+DM2,且AM=DM,∴△MAD是等腰直角三角形,∠AMD=90°,又∵△QMN∽△MAD,∴△QMN也是等腰直角三角形且QM=QN,∠

8、MQN=90°,∠QMN=45°,又∵∠AMD=90°,∴∠AMQ=∠QMD=45°,此时点D(或点A)与点N重合,(如下图(2))此时MQ⊥x轴,故点Q的坐标为(1,0).【知识点】二次函数关系式;顶点式;一次函数;相似三角形的性质;等腰直角三角形的性质和判定;勾股定理的逆定理;三角形面积公式2.(xx湖北黄冈,24题,14分)如图,在直角坐

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