勾股定理的十种证法

《勾股定理的十种证法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、勾股定理的十种证法证法1　　作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.　　∵D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF≌RtΔEBD，　　∴∠EGF=∠BED，　　∵∠EGF+∠GEF=90°，　　∴∠BED+∠GEF=90°，　　∴∠BEG=180°―90°=90°　　又∵AB=BE=EG=GA=c，　　∴ABEG是一个边长为c的正方形。　　∴∠ABC+∠CBE=90°　　∵RtΔABC≌RtΔEBD，　　∴∠ABC=∠EBD.　　∴∠EBD+∠CBE=90

2、°　　即∠CBD=90°　　又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，　　BC=BD=a.　　∴BDPC是一个边长为a的正方形。　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.　　设多边形GHCBE的面积为S，则　　A2+B2=C2   证法2　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点　　F作FN⊥PQ，垂足为N.　　∵∠BCA=90°，QP∥BC，　　∴∠MPC=90°，　　∵B

3、M⊥PQ，　　∴∠BMP=90°，　　∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°。　　∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，　　∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，　　∴∠QBM=∠ABC，　　又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，　　∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.　　同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即A2+B2=C2证法3　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=

4、b，　　∴FI=a，　　∴G,I,J在同一直线上，　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，　　∠CJB=∠CFD=90°，　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD，　　同理，RtΔABG≌RtΔADE，　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE　　∴∠ABG=∠BCJ,　　∵∠BCJ+∠CBJ=90°，　　∴∠ABG+∠CBJ=90°，　　∵∠ABC=90°，　　∴G,B,I,J在同一直线上，　　A2+B2=C2。证法4　　作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结　　BF、CD.过C作CL⊥DE，　　交AB于点M

5、，交DE于点L.　　∵AF=AC，AB=AD，　　∠FAB=∠GAD，　　∴ΔFAB≌ΔGAD，　　∵ΔFAB的面积等于，　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM　　的面积的一半，　　∴矩形ADLM的面积=.　　同理可证，矩形MLEB的面积=.　　∵正方形ADEB的面积　　=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积　　∴即A2+B2=C2证法5（欧几里得的证法）　　《几何原本》中的证明　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余

6、两个正方形相等。　　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。　　其证明如下：　　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和D

7、E直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为AB和BD分别等于FB和BC，所以△ABD必须相等于△FBC。因为A与K和L是线性对应的，所以四方形BDLK必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形BDLK必须有相同的面积BAGF=AB²；。同理可证，四边形CKLE必须有相同的面积ACIH=A