勾股定理地总统证法及其他证法

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1、实用文档总统巧证勾股定理学过几何的人都知道勾股定理。它是几何中一个比较重要的定理,应用十分广泛。迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有500余种。其中,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。总统为什么会想到去证明勾股定理呢?难道他是数学家或数学爱好者?答案是否定的。事情的经过是这样的;  在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨。由于

2、好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么?只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀。”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。  于是伽菲尔

3、德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。他是这样分析的,如图所示:           1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统。”证法。文案大全实用文档勾股定理的证明罗洪信(2002年4月25日参加桂林市创新教育课堂教学大比武用)【证法1】(课本的证明)           做8个全等的直角

4、三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.即,整理得.【证法2】(邹元治证明)以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90º,∴∠AEH+∠BEF=90º.∴∠HE

5、F=180º―90º=90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90º,∴∠EHA+∠GHD=90º.又∵∠GHE=90º,∴∠DHA=90º+90º=180º.∴ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于.∴.∴. 文案大全实用文档 【证法3】(赵爽证明)以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵

6、∠HAD+∠HAD=90º,∴∠EAB+∠HAD=90º,∴ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于.∴.∴.【证法4】(1876年美国总统Garfield证明)以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90º,∴∠AED+∠BEC=90º.∴∠DEC

7、=180º―90º=90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于.又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于.∴.∴. 【证法5】(梅文鼎证明)做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.文案大全实用文档∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED,∵∠EGF+∠GEF=90°,∴∠BED+∠GEF=90°,∴∠BEG=180º―90

8、º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c,∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90

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