勾股定理的不同证法

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1、勾股定理的不同证法证法1：设三角形较短的两边长度分别为a和b，较长的边为c，如果a的二次方与b的二次方的和等于c的二次方，最长边对应的角为直角，则已证明勾股定理：a²+b²=c²证法2：以三角形三边延伸做三个正方形，边长分别为a，b，c，如果正方形（a边长）加正方形（b边长）面积和等于正方形（c边长），则a²+b²=c²，已证明勾股定理。证法3:以a，b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形，则每个直角三角三角形的面积等于½ab，把这两个直角三角形如图所示，使A，E，B三点在一条直线上。∵Rt△EAD≌RT△CBE，∴∠ADE＝∠BEC，∵∠AE

2、D＋∠ADE＝90°∴∠AED＋∠BEC＝90°∴∠DEC＝180°—90°＝90°∴△DEC是一个等腰直角三角形它的面积等于½c²又因为∠DAE＝90°，∠EBC＝90°，∴AD∥BC∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于½（a＋b）²∴½（a＋b）²＝2·½ab＋½c²∴a²+b²=c²证法4：做8个全等的直角三角形设它们的两条直角边长为a，b，斜边长为c，在做三个边长为a，b，c的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形，从左图可以看到，这两个正方形的边长都是a＋b，所以面积相等，即：a²+b²＋4·½ab等于c²＋4·½ab，整理便得a²+

3、b²=c²证法5：以a，b为直角边(b＞a)，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于½ab，把这四个直角三角形拼成如图所示形状。∵RtDAH≌Rt△ABE,∴∠HDA＝∠EAB∵∠HAD＋∠HAD＝90°∴∠EAB＋∠HAD＝90°∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c²∵EF＝FG＝GH＝HE＝b—a∠HEF＝90°∴EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于（b—a）²4·½ab＋（b—a）²等于c²∴a²+b²=c²证法6：从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：b(a+b)=1/2c²+a

4、b+1/2(b+a)(b-a)　　矩形面积=（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直　　角三角形。　　（简化）2ab+2b²;=c²;+b²;-a²;+2ab　　2b²-b²+a²=c²　　：a²+b²=c²证法7：如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.假设，即假设AC²＋BC²≠AB²，则由AB²＝AB·AB＝AB（AD＋BD）＝AB·AD＋AB·BD可知，AC²≠AB·AD或者BC²≠AB·BD.即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB.在ΔAD

5、C和ΔACB中，∵∠A=∠A，∴若AD：AC≠AC：AB，则∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∵∠B=∠B，∴若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.又∵∠ACB=90º，∴∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.这与作法CD⊥AB矛盾.所以，的假设不能成立.∴.证法8：设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，则AD=c.∵EM=EH+HM=b+

6、a,ED=a，∴DM=EM―ED=―a=b.又∵∠CMD=90º，CM=a，∠AED=90º，AE=b，∴RtΔAED≌RtΔDMC.∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180º，∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90º，∴∠ADC=90º.∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90º，∴∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，∴ΔABF≌ΔADE.∴∠AFB=∠AED=90

7、º，BF=DE=a.∴点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG中，∵AB=BC=c，BF=CG=a，∴RtΔABF≌RtΔBCG.∵，，，，∴===∴.