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1、线性代数讲义4特征值与二次型张宏浩12015/10/22称f(A)为方阵A的多项式.相似矩阵设记对于方阵有相似矩阵设A,B为n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使则称B是A的相似矩阵.称P为相似变换矩阵.矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.2015/10/222P-1AP=L的充要条件若存在可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵L,则称方阵A可相似对角化.而对于对角阵L=diag(l1,…,ln),此时有可相似对角化方阵的多项式计算由此可方便地计算A的多项式.有定理1n阶方阵A与对角阵L=diag(l1,…,ln)相似的充分必要条件是存在线性无关向量组p1,…,pn满足提示:当P=
2、(p1,…,pn)可逆时,是AP=PL.2015/10/223方阵的特征值与特征向量设A为方阵,如果存在数l和非零向量p,使方阵的特征值与特征向量那么称数l为A的特征值,特征值l的特征向量.l为方阵A的特征值的充分必要条件是
3、lE-A
4、=0.p为方阵A对应于特征值l的特征向量,也即p为方程组(lE-A)x=0的任一非零解.对应于n阶方阵A的特征值l有n-R(lE-A)个线性无关的特征向量,称属于l的线性无关特征向量组.称非零向量p为A对应于2015/10/224设A=(aij)为n阶方阵,l为变元,则有其中称n次多项式
5、lE-A
6、为A的特征多项式.称n次方程
7、lE-A
8、=
9、0为A的特征方程.注:方阵A的特征多项式也记为
10、A-lE
11、,除了可能差一个负号外与
12、lE-A
13、并无本质性的差异.2015/10/225在复数范围内,n阶方阵有n个特征值(重根按重数算).设A=(aij)为n阶方阵,l为变元,则有其中称n次多项式
14、lE-A
15、为A的特征多项式.称n次方程
16、lE-A
17、=0为A的特征方程.设l1,…,ln为A的所有特征值,特征值的性质(2)(1)A的迹,记为tr(A).则有2015/10/226定理2相似矩阵有相同的特征多项式(特征值).设A=(aij)为n阶方阵,l为变元,则有其中称n次多项式
18、lE-A
19、为A的特征多项式.称n次方程
20、lE-A
21、
22、=0为A的特征方程.证明设A与B相似,即有可逆阵P,使故推论若对角阵L是A的相似矩阵,则L以A的特征值为对角元素.2015/10/227解方阵A的特征多项式为方阵A的特征值为练习1求方阵的特征值和特征向量.>>>2015/10/228解由得基础解系因此,方阵A对应于l1=1的全部特征向量为练习1求方阵当l1=1时,解方程组方阵A的特征值为的特征值和特征向量.>>>2015/10/229练习1求方阵解当l2=l3=10时,解方程组由得基础解系因此,方阵A对应于l2=l3=10的全部特征向量为方阵A的特征值为的特征值和特征向量.>>>2015/10/2210解方阵A的特征值为
23、方阵A的特征多项式为当l1=2时,解方程组方阵A对应于l1=2的全部特征向量为得基础解系练习2求方阵的特征值和特征向量.2015/10/2211练习2求方阵解方阵A的特征多项式为当l2=l3=1时,解方程组的特征值和特征向量.方阵A的特征值为得基础解系方阵A对应于l2=l3=1的全部特征向量为2015/10/2212练习3设l为方阵A的一个特征值,试证l2为A2的一个特征值.证明存在非零向量p,使Ap=lp,于是因此l2为A2的一个特征值.若l为方阵A的一个特征值,则f(l)为f(A)的一个特征值.设l为可逆方阵A的一个特征值,则(1)l-1为A-1的一个特征值.(2)
24、
25、A
26、l-1为A的一个特征值.2015/10/2213练习4设3阶方阵A的特征值为1,-1,2,求
27、A+3A-2E
28、.解则f(A)的特征值为A可逆,记于是2015/10/2214称k为l的代数重数;称n-R(lE-A)为l的几何重数.>>>对应于n阶方阵A的特征值l有n-R(lE-A)个线性无关的特征向量,称属于l的线性无关特征向量组.定理4设l1,…,lm是方阵A的m个不同的特征值,A1,…,Am分别为属于l1,…,lm的线性无关特征向量组,则由A1,…,Am的并集构成的向量组线性无关.设l是n阶方阵A的特征方程的k重根(k重特征值),定理3设l1,…,lm是方阵A的
29、m个不同的特征值,p1,…,pm为对应的特征向量,则p1,…,pm线性无关.定理5特征值的几何重数不大于代数重数.注:单(一重)特征值的几何重数必为1,等于代数重数.>>>2015/10/2215方阵相似对角化的条件定理6n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.定理1n阶方阵A与对角阵L=diag(l1,…,ln)相似的充分必要条件是存在线性无关向量组p1,…,pn满足练习1中的3阶方阵A有三个线性无关的特征向量,因此可相似对角化.练习2中的3阶方阵A只有两个线性无关的特征向量,因此不可相似对角化.2
