线性代数二次型与二次曲面x

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1、第六章二次型与二次曲面§6.1二次型及其标准形§6.2正定二次型§6.3曲面及其方程§6.4二次曲面曲面和曲线的一般方程S1F(x,y,z)F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0x=x(t)y=y(t)z=z(t)曲面的一般方程:曲线的一般方程:曲线的参数方程:第六章二次型与二次曲面§6.3曲面及其方程G(x,y,z)CS2(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=r2第六章二次型与二次曲面§6.3曲面及其方程球面及其方程柱面及其方程旋转曲面方程投影曲线方程H(x,y)=0z=0F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0曲线C:在xO

2、y面的投影曲线x2a2+y2b2+z2c2=1(a>0,b>0,c>0)椭球面截痕法x2a2+y2b2z2c2=0(a>0,b>0,c>0)Oxyzy2b2z2c2=0,x=0,x2a2z2c2=0,y=0,x2a2+y2b2=0z=0,y=bzcx=azc第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面二次锥面z=h,x2a2+y2b2=h2c2当h0时，该交线是椭圆；当h=0时，该交线是原点。所以，二次锥面也叫椭圆锥面。Oxyzabx2a2+y2b2z2c2=1(a>0,b>0,c>0)y2b2z2c2=1x=0,x2a2z2c2=1y=0,x2a2

3、+y2b2=1z=0,第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面单叶双曲面双曲线椭圆z=h,x2a2+y2b2=1+h2c2x2a2+y2b2z2c2=1(a>0,b>0,c>0)Oxyzcy2b2z2c2=1x=0,x2a2z2c2=1y=0,x2a2+y2b2=0z=

4、c

5、,第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面双叶双曲面双曲线z=h,x2a2+y2b2=1h2c2椭圆

6、h

7、>c时,

8、h

9、越大,椭圆越大

10、h

11、=c时,椭圆退缩成点.x2a2+y2b2=z(a>0,b>0)Oxyzy2b2z=x=0,y=0,x2a2+y2b2=0z=0,x2a2z=

12、第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面椭圆抛物面x2a2+y2b2=z抛物线z=h,x2a2+y2b2=hh越大,椭圆曲线也越大h=0时,椭圆退缩成点.椭圆Oxyzx2a2y2b2=z(a>0,b>0)y2b2z=x=0,h2a2y2b2z=x=h,第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面双曲抛物面表示过原点，开口朝z轴负方向的抛物线。开口朝z轴负方向的抛物线。Oxyzx2a2y2b2=z(a>0,b>0)y=0,y=h,x2a2z=第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面双曲抛物面表示过原点，开口朝z轴正方向的抛物线。开口朝z轴正方向的抛物线。x2a2h

13、2b2z=Oxyzx2a2y2b2=z(a>0,b>0)(马鞍面)x2a2y2b2=hz=h,第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面双曲抛物面当h>0时，是实轴是x轴的双曲线当h<0时，是实轴是y轴的双曲线。当h=0时，是过原点的两条直线x2a2+y2b2+z2c2=1椭球面第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面(a>0,b>0,c>0)x2a2+y2b2z2c2=0二次锥面x2a2+y2b2z2c2=1单叶双曲面x2a2+y2b2z2c2=1双叶双曲面截痕法x2a2+y2b2=z椭圆抛物面x2a2y2b2=z(马鞍面)双曲抛物面若已知二次曲面的标

14、准方程，则容易画出它的图形。椭球面二次锥面单叶双曲面和双叶双曲面椭圆抛物面和双面抛物面若二次曲面的方程不是标准方程，要通过正交变换和平移变换把一般二次方程化为标准方程，从而知道其图形。第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面二次曲面的判别方法第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面一般三元二次方程的化简a11a12a13a12a22a23a13a23a33xyzB=b1b2b3(x,y,z)+(b1,b2,b3)xyz+c=0a11a12a13a12a22a23a13a23a33令A=xyzX=XTAX++c=0BTX第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面一般三元二

15、次方程的化简XTAX++c=0(1)BTXA是实对称矩阵正交矩阵P，正交替换X=PY,Y=(x1,y1,z1)XTAX=YT(PTAP)Y=YTdiag(1,2,3)Y二次型标准形则方程(1)变成再令BTX=(d1,d2,d3),1x12+2y12+3z12+d1x1+d2y1+d3z1+c=0将此方程配平方，再做平移变换，得二次方程标准形。第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面例4.1将二次曲面化为标准方程，指出曲面类型：第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面Oxyz第六章二次型与二次曲面§6.4二次曲面

16、f(x,y,z)=2x2