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《线性代数 第五章特征值与二次型.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章特征值与二次型§1向量的内积在空间几何中，内积描述了向量的度量性质，如长度、夹角等.由内积的定义：，可得且在直角坐标系中将上述三维向量的内积概念自然地推广到n维向量上，就有如下定义。定义1设有n维向量，，称为与的内积.内积是向量的一种运算，用矩阵形式可表为.例1计算，其中x,y如下：(1)x＝（０，１，５，－２），y＝（－２，０，－１，３）；(2)x＝（－２，１，０，３），y＝（３，－６，８，４）.解(1)［x,y］＝０·（－２）＋１·０＋５·（－１）＋（－２）·３＝－１１；(2)［x,y］＝（－２）·３＋１·（－６）＋０
2、·８＋３·４＝０.若ｘ、ｙ、ｚ为n维实向量，λ为实数，则下列性质从内积的定义可立刻推得.(i)［x,y］＝［y,x］，(ii)［λx,y］＝λ［x,y］，(iii)［x+y,z］＝［x,z］＋［y,z］.同三维向量空间一样，可用内积定义n维向量的长度和夹角.定义2称为向量x的长度(或范数)，当‖x‖＝1时称x为单位向量.从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质：（ｉ）非负性：当x≠0时，‖x‖＞０，当x＝０时‖x‖＝０.（ｉｉ）齐次性：‖λx‖＝｜λ｜‖x‖.（ｉｉｉ）三角不等式：‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖.（ｉｖ）柯西-许瓦茨（
3、Cauchy-Schwarz）不等式:［x，y］２≤‖x‖２‖y‖２.由柯西-许瓦茨不等式可得≤１（‖x‖·‖y‖≠０）.于是我们定义，当‖ｘ‖≠０，‖ｙ‖≠0时，称为x与y的夹角.当［x，y］＝０时，称x与y正交.显然，n维零向量与任意n维向量正交.称一组两两正交的非零向量组为正交向量组.定理1若n维非零向量为正交向量组，则它们为线性无关向量组.证设有使，分别用与上式两端作内积(k＝１，２，…，r)，即得因，故，从而，于是线性无关.在研究向量空间的问题时，常采用正交向量组作为向量空间的一组基，以便使问题得到简化，那么n维向量空
4、间的正交基(基中向量两两正交)是否存在呢?定理2若是正交向量组，且ｒ＜n，则必存在n维非零向量x，使，x也为正交向量组.证x应满足，即记则，故齐次线性方程组Ax＝０必有非零解，此非零解即为所求.推论个（）两两正交的n维非零向量总可以扩充成Rn的一个正交基.例2已知＝（１，１，１）′，＝（１，－２，１）′正交，试求一个非零向量，使两两正交.解解方程组得基础解系为，取＝，则即为所求.定义3设n维向量是向量空间的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称之为V的一个正交规范基(标准正交基).若是V的一个正交规范基，则V中任一向量可由惟
5、一线性表示，设为则由，得惟一确定，i＝１,２，…，r.下面介绍将向量空间的任一基转换为一正交规范基的Schmidt正交化方法，其具体步骤如下：取容易验证两两正交，非零.然后将它们单位化，即令则就是V的一个正交规范基.例3已知＝(1,－1,0)′、＝(1,0,1)′，＝(1,－1,1)′是R3的一个基，试用施密特正交化方法，构造R3的一个正交规范基.解取再将单位化，即得R3的一个正交规范基定义4如果n阶方阵满足A′A＝E（即A－１＝A′），就称A为正交矩阵.用A的列向量表示，即是亦即由此得到n２个关系式这说明，方阵A为正交矩阵的充
6、分必要条件是：A的列向量组构成Rn的正交规范基，注意到Ａ′Ａ＝Ｅ＝ＡＡ′，所以上述结论对A的行向量组也成立.例4验证矩阵是正交矩阵.解A的每个列向量都是单位向量且两两正交，故A是正交矩阵.由正交矩阵定义，不难得到下列性质.（i）若A是正交矩阵，则｜Ａ｜２＝１.（ii）若A是正交矩阵，则Ａ′，Ａ－１也是正交矩阵.（iii）若Ａ，Ｂ是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.定义5若T是正交矩阵，则线性变换y＝Ｔx称为正交变换.设y＝Ｔx是正交变换，则有这表明，经正交变换向量的长度保持不变，这是正交变换的优良特性之一.其实正交变换相当于反射
7、和旋转的叠合，例如为正交矩阵，正交变换y＝Ｔx相当于旋转θ角，再关于纵轴对称反射.§2方阵的特征值和特征向量工程技术中振动问题和稳定性，往往归结为一个方阵的特征值和特征向量的问题，特征值、特征向量的概念，不仅在理论上很重要，而且可以直接用来解决实际问题.定义6设A为n阶方阵，若存在数λ和非零n维向量x，使得Ａx＝λx，（5.1）则称λ为矩阵A的特征值，称x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量.(5.1)式也可写成（Ａ－λＥ）x＝０.（5.2）(5.2)式的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是｜Ａ－λＥ｜＝０.（5.３）(5.3)式
8、的左端为λ的n次多项式，因此A的特征值就是该多项式的根.记f(λ)=
9、Ａ-λＥ
10、，称为A的特征多项式，则矩阵A的特征值即为其特征多项式的根.方程(5.3)称为A的特征方程，特征方程在复数范围内恒有解.其个数为方程的次数(重根按重数计算)，因此n阶方阵A有n个特征
