线性代数 第五章特征值与二次型.doc

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1、第五章特征值与二次型§1向量的内积在空间几何中,内积描述了向量的度量性质,如长度、夹角等.由内积的定义:,可得且在直角坐标系中将上述三维向量的内积概念自然地推广到n维向量上,就有如下定义。定义1设有n维向量,,称为与的内积.内积是向量的一种运算,用矩阵形式可表为.例1计算,其中x,y如下:(1)x=(0,1,5,-2),y=(-2,0,-1,3);(2)x=(-2,1,0,3),y=(3,-6,8,4).解(1)[x,y]=0·(-2)+1·0+5·(-1)+(-2)·3=-11;(2)[x,y]=(-2)·3+1·(-6)+0

2、·8+3·4=0.若x、y、z为n维实向量,λ为实数,则下列性质从内积的定义可立刻推得.(i)[x,y]=[y,x],(ii)[λx,y]=λ[x,y],(iii)[x+y,z]=[x,z]+[y,z].同三维向量空间一样,可用内积定义n维向量的长度和夹角.定义2称为向量x的长度(或范数),当‖x‖=1时称x为单位向量.从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质:(i)非负性:当x≠0时,‖x‖>0,当x=0时‖x‖=0.(ii)齐次性:‖λx‖=|λ|‖x‖.(iii)三角不等式:‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.(iv)柯西-许瓦茨(

3、Cauchy-Schwarz)不等式:[x,y]2≤‖x‖2‖y‖2.由柯西-许瓦茨不等式可得≤1(‖x‖·‖y‖≠0).于是我们定义,当‖x‖≠0,‖y‖≠0时,称为x与y的夹角.当[x,y]=0时,称x与y正交.显然,n维零向量与任意n维向量正交.称一组两两正交的非零向量组为正交向量组.定理1若n维非零向量为正交向量组,则它们为线性无关向量组.证设有使,分别用与上式两端作内积(k=1,2,…,r),即得因,故,从而,于是线性无关.在研究向量空间的问题时,常采用正交向量组作为向量空间的一组基,以便使问题得到简化,那么n维向量空

4、间的正交基(基中向量两两正交)是否存在呢?定理2若是正交向量组,且r<n,则必存在n维非零向量x,使,x也为正交向量组.证x应满足,即记则,故齐次线性方程组Ax=0必有非零解,此非零解即为所求.推论个()两两正交的n维非零向量总可以扩充成Rn的一个正交基.例2已知=(1,1,1)′,=(1,-2,1)′正交,试求一个非零向量,使两两正交.解解方程组得基础解系为,取=,则即为所求.定义3设n维向量是向量空间的一个基,如果两两正交,且都是单位向量,则称之为V的一个正交规范基(标准正交基).若是V的一个正交规范基,则V中任一向量可由惟

5、一线性表示,设为则由,得惟一确定,i=1,2,…,r.下面介绍将向量空间的任一基转换为一正交规范基的Schmidt正交化方法,其具体步骤如下:取容易验证两两正交,非零.然后将它们单位化,即令则就是V的一个正交规范基.例3已知=(1,-1,0)′、=(1,0,1)′,=(1,-1,1)′是R3的一个基,试用施密特正交化方法,构造R3的一个正交规范基.解取再将单位化,即得R3的一个正交规范基定义4如果n阶方阵满足A′A=E(即A-1=A′),就称A为正交矩阵.用A的列向量表示,即是亦即由此得到n2个关系式这说明,方阵A为正交矩阵的充

6、分必要条件是:A的列向量组构成Rn的正交规范基,注意到A′A=E=AA′,所以上述结论对A的行向量组也成立.例4验证矩阵是正交矩阵.解A的每个列向量都是单位向量且两两正交,故A是正交矩阵.由正交矩阵定义,不难得到下列性质.(i)若A是正交矩阵,则|A|2=1.(ii)若A是正交矩阵,则A′,A-1也是正交矩阵.(iii)若A,B是n阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵.定义5若T是正交矩阵,则线性变换y=Tx称为正交变换.设y=Tx是正交变换,则有这表明,经正交变换向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性之一.其实正交变换相当于反射

7、和旋转的叠合,例如为正交矩阵,正交变换y=Tx相当于旋转θ角,再关于纵轴对称反射.§2方阵的特征值和特征向量工程技术中振动问题和稳定性,往往归结为一个方阵的特征值和特征向量的问题,特征值、特征向量的概念,不仅在理论上很重要,而且可以直接用来解决实际问题.定义6设A为n阶方阵,若存在数λ和非零n维向量x,使得Ax=λx,(5.1)则称λ为矩阵A的特征值,称x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量.(5.1)式也可写成(A-λE)x=0.(5.2)(5.2)式的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是|A-λE|=0.(5.3)(5.3)式

8、的左端为λ的n次多项式,因此A的特征值就是该多项式的根.记f(λ)=

9、A-λE

10、,称为A的特征多项式,则矩阵A的特征值即为其特征多项式的根.方程(5.3)称为A的特征方程,特征方程在复数范围内恒有解.其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此n阶方阵A有n个特征

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