线性代数第五章二次型

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1、一ｎ元二次型与对称矩阵二二次型与对称矩阵的标准形三二次型与对称矩阵的有定性第六章二次型一、ｎ元二次型的概念1、二次型及其矩阵的二次齐次多项式定义5.1含有ｎ个变量①称为二次型．或记为注①当常数项为实数时，称为实二次型；②当常数项为复数时，称为复二次型．定义只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．定义特别地，称为二次型的规范形．２、二次型的矩阵表示③②１、二次型的和式表示则二次型　　　　．其中矩阵Ａ为对称矩阵.令任一二次型ｆ对称矩阵Ａ任一对称矩阵Ａ二次型ｆ一一对应ｆ称为对称矩阵Ａ的二次型；Ａ称为二次型ｆ的矩阵；对称矩阵Ａ的秩称为二次型

2、ｆ的秩．3）复数域Ｃ上的４元二次型例１1）实数域Ｒ上的２元二次型2）实数域上Ｒ的３元二次型练习写出下列二次型的对称矩阵．(二)．线性变换定义5.2关系式称为由变量到变量的一个线性变量替换,简称线性替换矩阵线性替换的矩阵.时称该线性替换为非退化的线性替换.以上线性替换可以表示为即线性替换是非退化的,则代入二次型xTAx,则其中B=CTAC为对称矩阵.因此yTBy是以B为矩阵的n元二次型例题将以下二次型化为标准形定义设Ａ,Ｂ为ｎ阶方阵，若存在ｎ阶可逆阵Ｐ，则称Ａ合同于Ｂ,记为①反身性②对称性③传递性性质④合同矩阵具有相同的秩.⑤与对称矩

3、阵合同的矩阵也是对称矩阵.等价使得5.2二次型与对称矩阵的标准形(一)用配方的法化二次型为标准形．定理5.1任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形.5.2二次型与对称矩阵的标准形(一)用配方的法化二次型为标准形．定理5.1任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形.例题定理5.2对任意一个对称矩阵A,存在一个非奇异矩阵C,使得CTAC为对角形.即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同.例题(三)用正交替换法化二次型为标准形.定理5.3任何一个二次型一定存在正交矩阵Q,使得经过正交替换,把它化为标准形其中是矩阵A的全部特

4、征值.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤例2例3