线性代数-第五章相似矩阵与二次型5.6正定二次型

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1、第五章相似矩阵与二次型§5.6正定二次型一、正定二次型的概念二、正定二次型的判定三、负定二次型的概念四、小结思考题第五章相似矩阵与二次型一、正定二次型的概念定义5.6.1设fXAX为实二次型,如果对任意n维列向量X0,都有fXAX0,则称fXAX为正定二次型,;并称对称矩阵A是正定矩阵如果对任意n维列向量X0,都有fXAX0,则称fXAX为半正定二次型,并称对称矩阵A是半正定矩阵.222例如fxxx为正定二次型12n222fxxxr(n)为半正定二次型12r第五章相似矩阵与二

2、次型二、正定二次型的判别定理5.6.1实二次型fXAX为正定的充分必要条件是其标准形(513)式中n个系数全大于零.证:设二次型fXAX经可逆线性变换222XCY化为标准形fyyy1122nn充分性:若0(i1,2,,)n，对于任意的X0，则有i1YCX0222故fX()fCY()yyy01122nn即二次型f正定.第五章相似矩阵与二次型必要性(反证法)假设存在某个0，取Ye(单位向量)，ss当XCe0，则有fX()fCe()0.sss上式与f

3、为正定二次型矛盾，因而0(i1,2,,).ni推论1对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正.推论2实二次型fXAX为正定的充分必要条件222是它的规范标准形为fyyy12n第五章相似矩阵与二次型推论3实二次型fXAX为正定则

4、

5、A0.因为A正定，所以二次型fXAX正定，经可逆线性222变换XCY化为标准形fyyy1122nn由定理5.6.1知，0(in1,2,,)，又因i00100CAC200n2所以

6、CA

7、C

8、

9、

10、

11、

12、

13、

14、CA012n而

15、

16、CA0，故

17、

18、0.第五章相似矩阵与二次型特别注意：反之，结论不成立10A01设An为阶对称矩阵，由A的前k行前k列元素构成aaa11121kaaa21222k的k阶行列式aaak12kkk称为矩阵Aa()的k阶顺序主子式.ij第五章相似矩阵与二次型定理5.6.2实二次型fXAX为正定的充分必要条件是它的矩阵A的所有顺序主子式全大于零.例1判断下列二次型的正定性222(1)f3x4xx4x4xx5x1122233222(2

19、)f5x4xx4xx6x4x1121323320解:(1)二次型的矩阵为A242025第五章相似矩阵与二次型以Pk记它的顺序主子式，则32P30,P＝80,P

20、A

21、28012324由定理5.6.2知，f正定.522(2)二次型的矩阵为A260204它的顺序主子式，52P50,P＝260,P

22、A

23、80012326由定理5.6.2知，f不是正定的.第五章相似矩阵与二次型三、负定二次型的概念定义设fXAX为实二次型,如果对任意

24、n维非零列向量X0,都有fXAX0,则称fXAX为负定二次型,;并称对称矩阵A是负定矩阵如果对任意非零n维列向量X0,都有fXAX0,则称fXAX为半负定二次型,并称对称矩阵A是半负定矩阵.222例如fxxx为负定二次型12n222fxxxr(n)为半负定二次型12r第五章相似矩阵与二次型定理5.6.3实二次型fXAX为负定的充分必要条件是它的矩阵A的所有奇数顺序主子式小于零，偶数顺序主子式大于零.例2证明实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵U，使得AUU.充

25、分性：设存在可逆矩阵U，使得AUU，则对任意非零列向量X，有UX0,从而XAXXUUX(UX)(UX)0所以实二次型fXAX正定，故矩阵A正定.第五章相似矩阵与二次型必要性：因为A正定，所以实二次型fXAX正定，从而存在可逆线性变换XPY,使得f化为规范标准形222fyyy12n1111故PAPE，从而得A(P)EP(P)P.1令UP，则U可逆，且AUU.第五章相似矩阵与二次型例3设fXAX是实二次型，若存在n维实向量XX,,12使XAX0,XAX

26、0，证明必有n维实向量X0，11220使XAX000证由条件知fXAX是不定二次型，故存在可逆线性变换XCY，使fXAXCYACY()()YCACY()22222yyyyy12pp1r其中1prn1.第五章相似矩阵与二次型0