线性代数》第五章相似矩阵与二次型第6节

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1、第六节正定二次型第六节实二次型的正定性正（负）定二次型的判定正（负）定二次型的概念二次型的规范形及惯性定理下面我们限定所用的变换为实变换，来研究一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，其标准形一般来说是不唯一的,但标准形中所含有的项数是确定的，就等于二次型的秩．二次型的标准形所具有的性质．再实施线性变换则二次型化为这种系数为1或-1的二次型称为二次型的规范形一、二次型的规范形及惯性定理惟一是指规范形中指标p和r是由二次型确定的，其中r是二次型的秩,p称为二次型的正惯性指数.任意一个实二次型定理总可以经过一个适当的可逆

2、线性变换化成规范形,且规范形是惟一的.称r-p为负惯性指数,正负惯性指数的差2p-r叫做符号差.因为二次型的规范形对应的矩阵为：所以有以下推论：任意实对称矩阵合同于对角形矩阵则称实二次型正定，恒有若对任何非零向量若对任何恒有则称实二次型二、正(负)定二次型的概念定义负定,并称对称矩阵A为负定矩阵.是实二次型，A为正定矩阵；并称对称矩阵为正定二次型为负定二次型例如实二次型为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正。充分性：三、正定二次型的判定定理定理设可逆变换证明必要性：反证法。假设有这与f为正定相矛盾。这就证明了实对称矩阵A正定A的特征值全为正。推

3、论，子式称为矩阵A的i阶顺序主子式。A的各阶顺序主子式定义实二次型正定定理A的各阶顺序主子式实二次型负定定理负正相间，例判断下列实二次型是否正定解（1）f的矩阵为所以f是正定的。解（2）f的矩阵为所以f是负定的。例求参数t的范围，使下列二次型为正定二次型解二次型的矩阵为使式大于零，而正定，要求A的各阶顺序主子推得即所以当时正定。2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.1.正定二次型与正定矩阵的概念3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导．小结思考题正定

4、二次型与正定矩阵有何区别与联系？