线性代数课件第五章相似矩阵及二次型——第7节

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1、2021-8-23线性代数课件第五章相似矩阵及二次型2021-8-23线性代数课件一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质．2021-8-23线性代数课件T定理1(惯性定理)设有实二次型fxAx,它的秩为r,有两个实的可逆变换xCy及xPz222使fkykykyk0,1122rri222及fzzz0

2、,1122rri则k1,,kr中正数的个数与1,,r中正数的个数相等.2021-8-23线性代数课件二、正(负)定二次型的概念T定义1设有实二次型f(x)xAx,如果对任何x0,都有fx0显然f00,则称f为正定二次型,并称对称矩阵A是正定的;如果对任何x0都有f(x)0,则称f为负定二次型,并称对称矩阵A是负定的.例如fx24y216z2为正定二次型22fx3x为负定二次型122021-8-23线性代数课件三、正(负)定二次型的判别T定理2实二次型fxAx为正定的充分必要条件是:它的标准形的n个

3、系数全为正.证明设可逆变换xCy使n2fxfCykiyi.i1充分性设k0i1,,n.任给x0,i-1则yCx0,n2故fxky0.iii12021-8-23线性代数课件必要性假设有ks0,则当yes(单位坐标向量)时,fCek0.ss显然Ce0,这与f为正定相矛盾.s故k0i1,,n.i推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正．2021-8-23线性代数课件定理3对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式为正，即aa111naaa0,11120,

4、,0;11aa2122aan1nn对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即aa111rr10,r1,2,,n.aar1rr这个定理称为霍尔维茨定理．2021-8-23线性代数课件正定矩阵具有以下一些简单性质T11.设A为正定实对称阵,则A,A,A均为正定矩阵;2.若A,B均为n阶正定矩阵,则AB也是正定矩阵.2021-8-23线性代数课件例1判别二次型222fx,x,x5xx5x4xx8xx4xx123123121323是否正定.524解fx

5、1,x2,x3的矩阵为212,425它的顺序主子式5245250,10,21210,21425故上述二次型是正定的.2021-8-23线性代数课件例2判别二次型222fx,x,x2x4x5x4xx12312313是否正定.解用特征值判别法.202二次型的矩阵为A040,205令EA011,24,36.即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.2021-8-23线性代数课件例3判别二次型222f5x6y4z4

6、xy4xz的正定性.522解f的矩阵为A260,204a11a1252a1150,260,a21a2226A800,根据定理13知f为负定.2021-8-23线性代数课件四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导．2021-8-23线性代数课件思考题设A,B分别为m阶,n阶正定矩阵,试判

7、定分块A0矩阵C是否为正定矩阵.0B2021-8-23线性代数课件思考题解答解C是正定的.TTT因为,设z(x,y)为mn维向量,其中x,y分别是m维和n维列向量,若z0,则x,y不同时为零向量,于是TTTA0xzCz(x,y)0ByTTxAxyBy0,且C是实对称阵,故C为正定矩阵.2021-8-23线性代数课件